Az ellentmondásmentességről, a valószerűségről.
 

 Áttekintve az eddigieket, amellett hogy  - reményeink szerint - kissé kézzelfoghatóbbá vált olvasóink számára a hiperbolikus geometria,várhatóan két kérdés vetődik fel olvasóinkban:

Vegyük számba ezeket a valójában igen nehéz kérdéseket.

 Az, hogy egy axiomatikusan felépített rendszer ellentmondásmentes, azt a követelményt jelenti, hogy ne lehessen a bevezetett axiómákból levezetni olyan tételt, amelynek - ugyanebben a rendszerben - a tagadását is le lehet vezetni.  Ez alapvető követelmény egy axiómarendszerrel szemben, ezért ha ilyen előfordulna, akkor az az axiómarendszer használhatatlan, elvetendő. De vajon biztosak lehetünk-e abban, hogy ilyen állításra soha nem bukkanunk egyik, vagy másik geometriában, esetleg valamely más axiomatikus rendszerben?
A kérdés nehézségét csak fokozta Kurt Gödel   osztrák matematikus két  nagy jelentőségű tétele:

Mindkét állítás igen súlyos, részben filozófiai kérdéseket vetett fel. Az első állításra épp az imént láttunk példát: az abszolut geometria eszközeivel nem tudjuk sem igazolni, sem cáfolni a párhuzamosság kérdését. Ezért kellett tehát az abszolut geometria axiómáit kiegészítenünk a valamilyen formában , ill. tartalommal kimondott  párhuzamossági axiómával.

A másik kérdésre is  eléggé megnyugtató választ ad a modell módszer. Ugyanis -remélem észrevették olvasóink, hogy lényegében arról volt szó eleddig, hogy ha az euklídeszi geometria ellentmondásmentes, akkor a hiperbolikus geometria is az. Ugyanis a hiperbolikus geometria összes fogalmának, axiómájának és tételének van egy P-modell-beli megfelelője. (Természetesen nem ez az egyetlen modell, amely segítségével modellezhető az euklídeszi geometriában a hiperbolikus geometria.

A kérdés fontosságát maga Bolyai János is felismerte. Ő az elöbbi állítás megfordítását igazolta: Egy a hiperbolikus geometriában értelmezett felületen  -a paraszférán - modellezte az euklídeszi geometriát, ezzel igazolta, hogy  ha a hiperbolikus geometria ellentmondásmentes, akkor az euklídeszi geometria is az.

Ezzel bezárult a kör? Koránt sem. Gondoljunk csak a klasszikus Descartes -féle koordináta-rendszerre, mely kölcsönösen egyértelmű megfeletetést létesít  az euklídeszi sík pontjai, és a valós számpárok, az egyenesek, és az elsőfokú kétváltozós  függvények stb. között.

Ez a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés azt jelenti, hogy az algebra eszközeivel modellezni tudjuk az euklídeszi (sík és tér-)geometriát, vagyis:  ha az algebra - amely ugyancsak egy axiomatikus rendszer - ellentmondásmentes, akkor az euklídeszi geometria is az.

Az algebra eszközeivel viszont igazolható, hogy ha a természetes számokon értelmezett alapműveletek nem vezetnek ellentmondásra, akkor az algebra ellentmondásmentes.

Odáig jutottunk tehát, hogy amennyiben elfogadjuk a kétszer kettő négy igazságát, akkor ezzel már igazolható az algebra, azzal az euklídeszi geometria, azzal pedig a hiperbolikus geometria ellentmondásmentessége.

Másik kérdésünk az volt, hogy vajon az euklídeszi, vagy a hiperbolikus geometria alkalmasabb- e a  bennünket körülvevő világ leírására?

A közvetlen környezetünkben, vagy mondjuk földi léptékkel mérve biztosak lehetünk abban, hogy az euklídeszi geometria megfelelő - sőt az egyetlen megfelelő - eszköz környezetünk metrikus geometriai jellegű leírására. Kozmikus méretekben azonban ez nem így van. A tér szerkezete valójában nem homogén, nagy tömegek közelében "görbül", jelentős tényezőként belép az idő fogalma. Mindezek a kérdések messze túlmutatnak vizsgálódásunk tárgyán.

A mi számunkra már az is elgondolkodtató eredmény, hogy ha a kis számítógépi modellünkön jó nagyra  vesszük modellünk alapkörének  a sugarát - a képernyőhöz képest - akkor szinte alig vesszük észre rajzainkon, hogy azok nem euklídeszi geometriai objektumokat ábrázolnak.  Éppen úgy, mint ahogy itt a számítógép elött ülve nem érzékeljük, hogy a föld  gömb alakú.

<<<<