Áttekintve az eddigieket, amellett hogy - reményeink szerint - kissé kézzelfoghatóbbá vált olvasóink számára a hiperbolikus geometria,várhatóan két kérdés vetődik fel olvasóinkban:
Vegyük számba ezeket a valójában igen nehéz kérdéseket.
- Biztosak lehetünk-e abban, hogy az itt megismert geometria ellentmondásmentes?
- Végül is melyik geometria alkalmasabb a bennünket körülvevő világ megismerésére, leírására?
Az, hogy egy axiomatikusan felépített
rendszer ellentmondásmentes, azt a követelményt jelenti, hogy ne lehessen
a bevezetett axiómákból levezetni olyan tételt, amelynek - ugyanebben a
rendszerben - a tagadását is le lehet vezetni. Ez alapvető követelmény
egy axiómarendszerrel szemben, ezért ha ilyen előfordulna, akkor az az
axiómarendszer használhatatlan, elvetendő. De vajon biztosak lehetünk-e
abban, hogy ilyen állításra soha nem bukkanunk egyik, vagy másik geometriában,
esetleg valamely más axiomatikus rendszerben?
A kérdés nehézségét csak fokozta Kurt
Gödel osztrák matematikus két nagy jelentőségű tétele:
A másik kérdésre is eléggé megnyugtató választ ad a modell módszer. Ugyanis -remélem észrevették olvasóink, hogy lényegében arról volt szó eleddig, hogy ha az euklídeszi geometria ellentmondásmentes, akkor a hiperbolikus geometria is az. Ugyanis a hiperbolikus geometria összes fogalmának, axiómájának és tételének van egy P-modell-beli megfelelője. (Természetesen nem ez az egyetlen modell, amely segítségével modellezhető az euklídeszi geometriában a hiperbolikus geometria.
A kérdés fontosságát maga Bolyai János is felismerte. Ő az elöbbi állítás megfordítását igazolta: Egy a hiperbolikus geometriában értelmezett felületen -a paraszférán - modellezte az euklídeszi geometriát, ezzel igazolta, hogy ha a hiperbolikus geometria ellentmondásmentes, akkor az euklídeszi geometria is az.
Ezzel bezárult a kör? Koránt sem. Gondoljunk csak a klasszikus Descartes -féle koordináta-rendszerre, mely kölcsönösen egyértelmű megfeletetést létesít az euklídeszi sík pontjai, és a valós számpárok, az egyenesek, és az elsőfokú kétváltozós függvények stb. között.
Ez a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés azt jelenti, hogy az algebra eszközeivel modellezni tudjuk az euklídeszi (sík és tér-)geometriát, vagyis: ha az algebra - amely ugyancsak egy axiomatikus rendszer - ellentmondásmentes, akkor az euklídeszi geometria is az.
Az algebra eszközeivel viszont igazolható, hogy ha a természetes számokon értelmezett alapműveletek nem vezetnek ellentmondásra, akkor az algebra ellentmondásmentes.
Odáig jutottunk tehát, hogy amennyiben elfogadjuk a kétszer kettő négy igazságát, akkor ezzel már igazolható az algebra, azzal az euklídeszi geometria, azzal pedig a hiperbolikus geometria ellentmondásmentessége.
Másik kérdésünk az volt, hogy vajon az euklídeszi, vagy a hiperbolikus geometria alkalmasabb- e a bennünket körülvevő világ leírására?
A közvetlen környezetünkben, vagy mondjuk földi léptékkel mérve biztosak lehetünk abban, hogy az euklídeszi geometria megfelelő - sőt az egyetlen megfelelő - eszköz környezetünk metrikus geometriai jellegű leírására. Kozmikus méretekben azonban ez nem így van. A tér szerkezete valójában nem homogén, nagy tömegek közelében "görbül", jelentős tényezőként belép az idő fogalma. Mindezek a kérdések messze túlmutatnak vizsgálódásunk tárgyán.
A mi számunkra már az is elgondolkodtató eredmény, hogy ha a kis számítógépi modellünkön jó nagyra vesszük modellünk alapkörének a sugarát - a képernyőhöz képest - akkor szinte alig vesszük észre rajzainkon, hogy azok nem euklídeszi geometriai objektumokat ábrázolnak. Éppen úgy, mint ahogy itt a számítógép elött ülve nem érzékeljük, hogy a föld gömb alakú.
<<<<