Geometriai
alakzatok
Vizsgáljuk meg, hogy modellünk miként szemlélteti az alábbi - többé-kevésbé
- közismert kijelentéseket.
Egyenes
Két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik.
Egy egyenes a síkot két részre
- félsíkokra - bontja úgy, hogy az egyenesre
nem illeszkedő pontok akkor és csak akkor tartoznak különböző részekhez,
ha az egyenes elválasztja azokat.
|
Valóban: ha adott a P-modell két pontja, (P
és Q), egyértelműen meghatározzák azt
az s kört, amely merőlegesen
metszi k -t. Az s kör tulajdonképpen
a P, Q és a
pontokra illeszkedő kör lesz.
Van olyan egyenes, amely a sík egy adott pontjára illeszkedik, és
egy adott egyenesét nem metszi.
|
Két egy síkban fekvő egyenes lehet metsző,
párhuzamos (egyirányú) vagy ultrapárhuzamos
(eltérő).
|
A hiperbolikus sík egyirányú egyenesei
a modell olyan - egyeneseket modellező - körívei, (ill. átmérői,) melyek
a modell alapkörén érintik egymást.
Az ábra a egyeneséhez képest b és
c egyirányú, d eltérő.
A sík egy adott pontjára végtelen sok
olyan egyenes illeszkedik, amely egy a pontra nem illeszkedő egyenest metsz,
végtelen sok olyan is illeszkedik, amely az adott egyeneshez képest eltérő,
és ezeket az adott egyeneshez és az adott ponthoz tartozó két egyirányú
egyenes választja el egymástól.
|
Szakasz
Az egybevágósági axiómák egyik lehetséges
(és – mint látni fogjuk – praktikus) megadási módja a tér pontjainak a
síkra vonatkozó tükrözésére fogalmaz meg axiómákat, melyekből hamarosan
eljuthatunk a (síkbeli) tengelyes tükrözésére vonatkozó állításokig.
A további (síkbeli) egybevágósági transzformációkat már mint tengelyes
tükrözések szorzatait értelmezhetjük.
A sík egy egyenese egyértelműen meghatározza
a sík önmagára való – tengelyes tükrözésnek
nevezett – transzformációját, amely az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:
– az egyenes által meghatározott egyik félsík pontjaihoz a másik
félsík pontjait rendeli;
– a képpontokhoz az eredeti pontokat rendeli, azaz involutórikus;
– egy egyenes pontjaihoz egyenes pontjait rendeli;
Két ponthoz egy és csakis egy tükörtengely tartozik, amelyre vonatkozó
tükrözés egyiket a másikba viszi.
Két félegyeneshez egy és csakis egy tükörtengely tartozik, amelyre
vonatkozó tükrözés egyiket a másikba viszi.
Ha egy tengelyes tükrözés az a egyenest a b egyenesbe
viszi át, akkor ugyanez a tükrözés az a -hoz szimmetrikus pontokat
b -hez szimmetrikus pontokba viszi.
|
A P-modellen a tengelyes tükrözésnek az "egyenest" meghatározó s körre
vonatkozó inverzió felel meg. Valóban: ez felcseréli a "félsíkokat",
a négyzete az identikus transzformáció, "egyenestartó", hiszen az inverzió
kört körbe (vagy az origón átmenő egyenesbe) visz át.
Győződjünk meg pl. annak az állításnak
a modellbeli helyességéről, miszerint két ponthoz egy és csakis egy tükörtengely
tartozik! Legyen adott a P-modell A és B pontja!
Az előbb láttuk, miként szerkeszthető a rájuk illeszkedő és k
-ra merőleges s kör. Most olyan t kört kell szerkesztenünk, amelyre
igaz, hogy ,
merőleges k -ra, mert "egyenes" és
merőleges s -re, mert "az felező
merőlegese". (Mivel az inverzió szögtartó, a P - modell is az, tehát a
"merőleges egyenesek" a modell merőleges körívei. Könnyen beláthatjuk,
hogy a t kör középpontját a k és s körök metszéspontjaira, valamint
az A és B pontokra illeszkedő egyenesek metszéspontja
adja. (Ha ez nem létezik, akkor t a k alapkör
átmérője lesz.)
A programrészlet lényegében " csak"
arra képes, hogy szemléltessen egy szakaszt és a szakaszfelező merőleges
egyenesét, amely két egybevágó (egyenlő) részre osztja az adott szakaszt.
Két szakaszt vagy bármilyen két geometriai alakzatot akkor tekintünk
egybevágónak, ha tengelyes tükrözések szorzatával
egymásba vihetők.
|
Itt már érezhetően különbözik a látvány
az absztrakt fogalomtól. Ez várható is, hiszen egy egész "sík" -ot egy
körlapra zsúfoltunk össze. Minél távolabb van a modell középpontjától a
" szakasz" egyik végpontja, annál kisebbnek látszik az egyik fele, mint
a másik. Itt jegyezzük meg, hogy a hiperbolikus sík - éppen úgy mint az
euklideszi - mindenütt homogén, bár úgy tűnik,
mintha a modell középpontjának kitüntetett szerepe lenne. Lehet mondani,
hogy ez a modell sajátossága, a modellezés
lényegét nem érinti. Két szakasz (a modellen körív) egyenlőségét - egybevágóságát
- nem az dönti el, hogy mekkorának látjuk őket, hanem az, átvihetők-e egymásba
tengelyes tükrözések (a modellen inverziók) sorozatával.
Lehetőségünk van arra, hogy több szakaszt,
ill. ezek felező merőleges egyeneseit is modellezzünk. Ezt kihasználva
észrevehetjük, hogy:
Egy háromszög szakaszfelező merőleges
egyenesei nem biztos, hogy metszik egymást.
|
Ezzel a kérdéssel azonban részletesebben foglalkozik a következő
programrészlet.
Három pont
Három különböző pontról az alábbi állítások
fogalmazhatók meg:
Három pontra vagy egy kör, vagy egy
egyenes illeszkedik. |
Mivel ez az állítás csak az euklídeszi geometriában érvényes,
a hiperbolikus geometriában nyilvánvalóan más lehetőségnek is kell lennie.
Íme:
Három pontra vagy egy kör, vagy egy
egyenes, vagy egy paraciklus,
vagy egy hiperciklus illeszkedik. |
Itt eddig nem ismert fogalmakkal találkozunk, amelyek jelentését
meg kell világítanunk. Ehhez bevezetjük a sugársor fogalmát, amely - ebben
a megfogalmazásban - abszolút geometriai fogalom:
A sík egyenesei halmazának egy valódi, nem véges H
részhalmazát sugársornak nevezzük, ha bármely
két H -beli a és b egyeneshez van olyan H -beli
t egyenes, amelyre teljesül, hogy az a és b egyenesek
szimmetrikusak t -re, és bármely t Î
H egyenesre tükrözve H bármely egyenesét, a tükörkép is H
-beli egyenes lesz.
|
Ebben a definícióban nagy szükség volt
mind a valódi, mind a nem
véges jelzőre. Ugyanis ha a H halmaz
az euklídeszi sík összes egyeneséből, vagy csak három, egy pontra illeszkedő,
egymással 60°
-os szöget bezáró egyenesből állna,
akkor is kielégítené a többi feltételt.
Mivel az euklídeszi síkban
két egyenes párhuzamos, vagy metsző, ezért kétféle sugársor létezik: az
egy pontra illeszkedő egyenesek halmaza, a centrális
sugársor, ill. az egymással párhuzamos egyenesek halmaza, a párhuzamos
sugársor.
|
A hiperbolikus geometriában - mivel
két egyenes kölcsönös helyzete háromféle lehet: metsző, egyirányú (párhuzamos),
ill. eltérő (ultrapárhuzamos), ennek megfelelően háromféle sugársor létezik:
centrális, egyirányú
és eltérő sugársor, amely rendre az egy pontra
illeszkedő, a közös végtelen távoli ponttal rendelkező, ill. a sík egy
adott egyenesére merőleges egyenesek halmazát jelenti.
|
Bármely két egyenes egyértelműen
meghatározza a sík egy sugársorát.
Ha a sík egy tetszőleges pontját egy sugársor minden elemére tükrözünk,
akkor e pont a tükörképeivel együtt egy ún. szabályos görbét, másképpen
ciklust alkot, amely a sugársor bármely
elemére nézve szimmetrikus alakzat. Egy sugársor minden egyenese merőleges
a sugársorhoz tartozó bármely ciklusra.
Egy centrális sugársor szabályos görbéi
koncentrikus körök, melyek közös centruma a sugársor tartója (mind
az euklídeszi, mind a hiperbolikus geometriában).
A centrális sugársor tartóját kivéve a sík minden pontjára egy adott
sugársornak pontosan egy egyenese és pontosan egy ciklusa illeszkedik.
|
Az euklídeszi geometria párhuzamos sugársorához tartozó
szabályos görbék a sugársor elemeire merőleges
egyenesek.
|
A hiperbolikus geometria egyirányú sugársorához tartozó
szabályos görbék az ún. paraciklusok.
Az egyirányú sugársor tartója a sugársor elemeinek a közös iránya. Az eltérő
sugársor elemeihez pontosan egy olyan egyenes tartozik, amely a sugársor
minden elemére merőleges. (Ez a sugársor tartóegyenese.) A sugársorhoz
tartozó szabályos görbék az ún. hiperciklusok.
A hiperciklus a sugársor tartóegyenesétől egyenlő távolságra levő pontok
mértani helye.
|
Itt említjük meg, hogy az euklídeszi párhuzamossági axióma ebben
a formában is megfogalmazható:
Egy félsík pontjai közül a
félsík határegyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye egyenes.
|
Ez a programrészlet szemlélteti a három,
tetszőlegesen megadott ponthoz tartozó ciklust, a három pont által meghatározott
három szakaszt, ezek szakaszfelező merőlegeseit, végül az adott pontokra
illeszkedő és a kapott ciklusra merőleges egyeneseket. Tapasztalni fogjuk,
hogy ez a hat egyenes ugyanahhoz a sugársorhoz tartozik.
A sugársorok és ciklusaik kapcsolatát
később részletesebben is meg fogjuk ismerni.
Mozgó háromszög
Ebben a programrészletben felváltva mozgathatjuk egy háromszög csúcsait.
Kétállapotú kapcsolókkal szabályozhatjuk, hogy eközben
lássuk-e a háromszög oldalfelező merőleges egyeneseit, magasság egyeneseit
és súlyvonalait. A modell alapján megállapíthatjuk, hogy:
A háromszög oldalfelező merőleges
egyenesei ugyanannak a sugársornak az elemei. Ugyanezt állíthatjuk a háromszög
magasságegyeneseiről is. A háromszög súlyvonalai
egy pontra illeszkednek.
|
Lehetséges, hogy ez a súlyvonalakkal
kapcsolatos állítás többek számára meglepő. Ugyanis a súlypontra vonatkozó
tétel legelterjedtebb bizonyítása a hasonlóság fogalmára épül. A hasonlóság
pedig csak az euklídeszi geometriában bevezethető
fogalom.
A programrészlet kiszámítja a megadott
háromszög oldalainak hosszát és szögeinek a nagyságát. A szakaszok mérésével
- a távolság fogalmával - később részletesebben foglalkozunk. Most a háromszög
szögeiről ejtsünk néhány szót.
A szögfogalom kialakítása, a szögek
mérése az abszolút geometria eszközeivel a szokásos módon megoldható. A
P-modell már említett előnye, hogy a szögek mérésére, mértékegységeire
bevezetett közismert összefüggések a modellen jól tükröződnek: két metsző
egyenes szöge egyenlő a modell egyeneseket reprezentáló köríveinek ill.
átmérőinek a szögével.
Legendre
igazolta hogy:
Bármely háromszög belső szögeinek
összege kisebb vagy egyenlő az egyenesszögnél.
A háromszög defektusának (szöghiányának)
nevezzük az egyenesszög és a háromszög szögösszegének a különbségét.
|
Eszerint Legendre tétele így is megfogalmazható:
A háromszög defektusa nem negatív.
|
Belátható, hogy:
Ha egy háromszöget két vagy több háromszögre bontunk, akkor
a részháromszögek defektusainak az összege
egyenlő az eredeti háromszög defektusával.
|
Legendre azt is megmutatta, hogy:
Ha van nulla defektusú háromszög, akkor bármely háromszög defektusa
nulla.
|
A defektus fogalmával újabb átfogalmazásait adhatjuk az euklídeszi,
ill. hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómájának:
Van olyan háromszög, amely
belső szögeinek összege egyenlő az egyenesszöggel, azaz defektusa nulla.
Bármely háromszög belső szögeinek összege kisebb az egyenesszögnél,
azaz defektusa pozitív.
|
A háromszög defektusának additív tulajdonsága, miszerint a részháromszögek
defektusainak az összege az eredeti háromszög defektusát adja, alkalmas
arra, hogy a hiperbolikus geometriában a háromszögek területét a defektusukkal
mérjük:
a háromszög területe a defektusának egy (alkalmas) konstansszorosa.
|
A számítógépi modellünk megengedi azt is, hogy a vizsgált háromszög
egy, vagy akár mindhárom csúcsa végtelen távoli pont
legyen. Az ilyen, ún. aszimptotikus háromszögnek a végtelen távoli csúcsában
mért szöge nulla.
Két egyirányú egyenes szöge nulla. Ultrapárhuzamos egyenesek szögét
nem értelmezzük.
Ha egy háromszög mindhárom csúcsa végtelen távoli, akkor ennek a legnagyobb
a defektusa, ti. az egyenesszög.
|
Ez ismét ad egy újabb lehetőséget a
párhuzamossági axiómák átfogalmazására:
Bármely háromszögnél van nagyobb
területű háromszög.
|
Van legnagyobb területű háromszög.
|
n oldalú szabályos sokszög
A szabályos sokszöget egyértelműen meghatározza
oldalainak száma, középpontja és egy csúcsa. Ez a programrészlet ezekből
az – interaktív módon változtatható – adatokból állít elő szabályos sokszögeket.
Megfigyelhetjük, hogy a szabályos sokszög szöge – amely az euklídeszi geometriában
csak a sokszög oldalainak a számától függ – itt miként függ a sokszöget
meghatározó három adattól.
Párhuzamossági szög
Legyen adott a síkban egy s
egyenes, egy attól d távolságban lévő P pont! Legyen továbbá
a P pontra illeszkedő és az adott egyenesre merőleges m egyenesnek
a P -re illeszkedő e -vel egyirányú egyenessel bezárt szöge
d . A d távolságot a P ponthoz
és az s egyeneskez tartozó párhuzamossági
távolságnak, d -t a P -hez és
s -hez tartozó párhuzamossági szögnek nevezzük.
|
Bolyai János szóhasználatával élve nevezhetjük ezt a szöget az elpattanás
szögének is. Ugyanis a P tartójú sugársor egyenesei közül
azok, amelyek m-el d -nál kisebb szöget
zárnak be, még metszik s -t , az első nem
metsző (elpattanó) egyenes éppen a d
szög szára.
Ez a programrészlet bemutatja, hogy ez a két mennyiség miként függ
egymástól. Ez a kapcsolat - éppúgy, mint a programban bemutatott bármely
numerikus összefüggés - nem a modellnek, hanem magának a hiperbolikus sík
metrikájának a sajátossága.
<<<<