2000/2 Krajcsi Attila

Robert Sternberg az intelligenciakutatás és gondolkodáslélektan egyik klasszikusa izgalmas kötetet szerkesztett a matematikai gondolkodásról. Az elsősorban tanároknak és pszichológusoknak hasznos könyv nem csak a matematika területén lehet érvényes, hanem nagyon sokszor a természettudományok körében is, vagy általában a gondolkodás és problémamegoldás különböző eseteiben.

Az írással nem csak az a célom, hogy ismertessem a könyv főbb gondolatait és témáit, hanem hogy a nem pszichológus végzettségűeknek némi segítséget és hátteret nyújtsak a szöveg értelmezéséhez és némi kritikával is illessem egyben, bár a kötet összességében véve igen jól sikerült.

A kötet első fejezetében John Carroll egy igen régóta használatos módszer, a faktoranalízis segítségével próbálja kibogozni, hogy mi áll a matematikai teljesítmény hátterében. Az alapkérdés az, hogy hogyan tudjuk megállapítani, hogy miféle képességek kellenek pl. egy matematikai feladat megoldásához. A válasz nem egyszerű, ugyanis nem rendelkezünk túl sok eszközzel: megvizsgálhatjuk, hogy különböző személyek hogyan oldottak meg különböző feladatokat, továbbá egy matematikai módszer segítségével elemezhetjük a megoldásokat. A faktoranalízis ez a matematikai eljárás: azt vizsgáljuk meg, hogy melyek azok a feladatcsoportok, amin belül, ha valaki az egyiket jobban oldja meg a többiekhez képest, a többiben is jeleskedik. Például lehet, hogy azok akik jók kétjegyű számok összeadásában, szinén jól teljesítenek egyszerű dallamok megismétlésében, de nem jók következtetési feladatokban. (Ez a példa csak illusztráció, nem kell túl komolyan vennünk.) Ebből arra következtethetünk, hogy a számok összeadásában és a dallamok ismétlésében van valami közös képesség, ami nem szükséges a következtetéses feladatokhoz. Ily módon egy listát állíthatunk össze a különböző képességekről.

Jelen esetben nem pusztán matematikai feladatokról van szó, hanem számtalan, különböző "gondolkodtató" feladatról. Ezek alapján egy leltár készíthető, amely a képességek listáját mutatja. Ebből a listából már csak azt kell megtudnunk, hogy mely képességek szükségesek a matematikai problémák megoldásához. (Ez azért fontos, mert az eredeti faktoranalitikus vizsgálatok nem pusztán matematikai, hanem mindenféle feladatokkal foglalkoztak.)

Fontos hangsúlyozni, hogy az emberi intellektust meghatározó képességek előbb említett leltára számtalan mérésen és számításon alapszik. Az viszont, hogy mely képességek szükségesek a matematikai problémák megoldásához, többnyire spekuláció eredménye az említett írásban.

Carroll megfontolásai szerint elsődlegesen fontos a "fluid intelligencia", amely komoly szerepet játszik a következtetéses feladatokban, vagy egy számsorozat szabályának felismerésében és a sorozat kiegészítésében, mennyiségekkel kapcsolatos problémák megoldásában. Másik lényeges faktor a kikristályosodott intelligenciának nevezett tényező, amely elsősorban nyelvi képességekkel függ össze: a szöveg megértése, a nyelvi fejlődés, az olvasási sebesség, stb. tartozik ide. A harmadik kulcsösszetevő az általános memóriaképesség, amelyet a memória terjedelme (rövid időre mennyi dolgot tud megjegyezni), vagy az "értelmes memória" faktora (hosszabb időre kell megtanulni értelmes dolgokat - értelmes olyan értelemben, hogy nem értelmetlen szavakat, mint pl. 'dagiukre'). Az utolsó, negyedik összetevő, amely számottevő szerepet játszhat a matematikai gondolkodásban, az általános vizuális észlelés, amit pl. olyan feladatok határoznak meg, hogy találjuk meg egy test és kiterített hálója között az összetartozó oldalakat.

Ezek után gondolhatjuk azt is, hogy ezért ugyan kár volt egy egész fejezetet írni erről. Hiszen megállapítottuk, hogy a matematikai képességeket olyan feladatok mérik jól, amelyek amúgy is nagyon hasonlóak a matematika órán használt feladatokhoz - nem csoda, hogy jól mérik magukat. Nem feltétlenül kell ezt gondolnunk, ugyanis vannak ennek ellentmondó értelmezések is Carroll írásában: nem tartja fontosnak pl. az ún. átfogó kognitív gyorsaságot (amit pl. a számolási könnyedség is jellemez), vagy az 'átfogó felidézési képességet', ami az eredetiséggel, kreativitással kapcsolatos, holott nyilvánvaló, hogy a gyorsaság vagy az újszerű ötletek kulcsfontosságúak lehetnek matematikai problémák esetében. A szerző tehát sorra veszi az egyébként már korábbról ismert faktorokat, és eltöpreng azon, hogy vajon van-e szerepük a matematikában. Lehet, hogy nem értenénk egyet vele, de mindenképp érdemes elgondolkodnunk ezeken a kérdéseken.

Már a faktoranalitikus módszer ismertetése elején feltűnhetett, hogy számtalan feltevést fogalmaztunk meg. Sokan azt állítják, hogy ezek a feltevések valójában indokolatlanok, és már a módszer használatának elején romba dől az elképzelésünk. Valójában más módszerek divatosak a mai kutatásokban. A pszichológia kísérleti irányát uraló kognitív megközelítés a könyv fejezeteinek nagy részében meghatározó. A kognitív megközelítés az ember mentális életének megismerő jellegét hangsúlyozza: az észlelés, emlékezés, gondolkodás fontosságát, stb. Miben különbözik mégis a faktoranalitikus módszertől? Két mozzanatot emelhetnénk ki: az egyik, hogy nem tesztekkel és azok faktoranalízisével dolgozik, hanem kísérletekkel, a problémák megoldásának idejéből és hibáiból próbál valamit mondani az emberről. A másik számunkra fontos különbség, hogy nem csak egy leltárt készít a képességekről, hanem azok működésének és kapcsolataiknak pontosabb feltárására törekszik. Utóbbi pontosabban úgy is megfogalmazható, hogy a kognitív pszichológia arra kíváncsi, hogy hogyan dolgozzuk fel az információt.

Richard Mayer és Mary Hegarty ezen információ-feldolgozás fontos állomását elemzi: a megértés szerepét a matematikai gondolkodásban. A problémamegoldás klasszikus szemlélete szerint a megoldás legkreatívabb lépése a megoldási terv létrehozása. Mayerék ezzel szemben azt állítják, hogy a legkreatívabb lépés a megértés, és ha a megértés sikeres volt, akkor a megoldás már automatikusan következik belőle. Egyes vizsgálatok azt mutatják, hogy bár a tanulók meg tudnak oldani olyan feladatot, mint 344+621, de képtelenek egy olyan feladat megoldására, mint 'Misi kölcsönadott Dezsőnek 5000 Ft-ot 10%-os kamattal. Mennyit fizet vissza Dezső két év múlva?' Valószínű, hogy ilyenkor a probléma megértésével van probléma, mivel a felírt egyenleteket gond nélkül megoldják. Két megértési stratégiát különítenek el: a közvetlen transzlációs stratégia kulcsszavakat keres a szöveges feladatokban, és azt próbálja lefordítani műveletekre (sokszor helytelenül) (pl. "Lucynál a vaj 65 centbe kerül darabonként. Ez darabonként 2 centtel kevesebb, mint Vonsnál. Mennyit fizetünk Vonsnál, ha négy darabot vásárolunk?" A transzlációs stratégia alapján egyesek 65-ből kivonják a 2-t, helytelenül.) A másik megoldási stratégia a problémamodellező, amelyik megpróbálja megérteni a helyzetet, és rájön, hogy nem kivonni, hanem hozzáadni kell a 2-t a 65-höz.

Számos elegáns kísérleti módszerrel mutatják ki, hogy valóban elkülöníthető a két típus, és hogy a problémamodellezők jobban teljesítenek. Ami az alkalmazott következményeket illeti, rámutat arra, hogy nem fektetünk elég nagy hangsúlyt arra, hogy a tanulókkal megértessük a problémát. A későbbi fejezetekben gyakorlati tanácsokat is találhatunk arra, hogy a megértés fejlesztésével hogyan érhetnek el a tanulók jobb teljesítményt.

Más típusú hibák is előfordulnak azonban a matematikai problémamegoldás során. Mi történik akkor, ha például a gyerekek túl jól tanulják meg a leckét? Pontosabban olyan szabályokat is megtanulnak, amelyek esetleg valóban benne vannak a tananyagban, de mi, tanárok, észre sem vesszük, vagyis a diák túláltalánosítja a szabályokat.

Talia Ben-Zeev írása azokat a racionális hibákat veszi sorra, amelyek valamilyen túláltalánosítás következtében vezetnek hibához úgy, hogy a tanuló közben nem tudta, hogy a szabály hatókörén kívülre került. Például előfordul, hogy a gyerekek a következő kivonást az alább látható módon oldják meg:

	     63
	    -29
	     46

Ez a hiba annak a következménye lehet, hogy korábban az egyjegyű számoknál begyakorolt kivonásnál mindig a nagyobb számból kellett kivonni a kisebbet. Ezt a gyakorlatot (számára szabályt) általánosítja túl ebben az esetben.

A szerző számos ilyen hibatípust sorol fel, bár két probléma van ezzel a taxonómiával. Az egyik, hogy sokszor nem ad példát a hibatípusra, és (vélhetően többször a fordítás sutasága miatt is) nem egyértelmű, hogy mire gondol. (Ez azért is fontos, mert az egyik alfejezetben éppen amellett hoz fel eredményeket, hogy a példák sokszor hatékonyabbak a tanulásban, mint maguk a szabályok, holott a szabályok elvileg pontosabbak.) Másrészt ezek a hibatípusok sokszor átfedik egymást - nem könnyű eldönteni, hogy mi is a különbség két típus között. Mindenesetre jó alkalom, hogy elgondolkodjunk a gyerekeknek azokról a hibáiról, amelyek valójában a mieink.

Kevin Miller és David Parades írása a kultúra hatását veszi számba a matematika tanulás bizonyos területein. A vizsgálódás konkrét területe a számok különböző ábrázolásmódja: egyrészt a beszélt nyelvben különböző szisztematikusság található: pl. a 11 a tíz és egy kombinációja-e (mint a magyarban), vagy egy teljesen önkényes jel (mint pl. az "eleven" az angolban). Vagy vannak-e további furcsa kivételek (mint a 80 franciában, ami nagyjából "négy-húsz"-nak fordítható). Másrészt érdekes megvizsgálni az írásmódot is: pl. az arab számjegyek 10-es számrendszere szemben a római számokkal. A kérdés az, hogy mindezen kulturális különbségek hogyan hatnak a számolás tanulására gyerekeknél.

Az eredmények szerint vannak különbségek kultúrák közt, ami vélhetően a nyelv logikájának különbségén alapszik. Amerikai gyerekek például gyakrabban rontják el a tíznél nagyobb számokat, mint kínai gyerekek (angolban 10 és 20 között nem teljesen logikus a számok elnevezése, szemben a kínai nyelv teljes szabályosságával). Hasonlóképp az amerikai gyerekek nem teljesen biztosak abban, hogy a tizenvalahány számok kombinálhatóak-e pl. a hússzal, szemben ismét a kínaiakkal. Onnan sejtjük, hogy ez a különbség a nyelvi eltérésből fakad, mert a 10 alatti számoknál (ahol egyik nyelvben sincs semmi rendszer - az elnevezések önkényesek) ugyanúgy teljesítenek az amerikaiak és a kínaiak.

Vajon a matematikai tudásnak van-e olyan része, amely velünk született? Számos kutatás eredménye azt mutatja, hogy igen. Ilyen pl. a kis számokkal végzett műveletek egy része: 5 alatt egy halmaz számosságát "számolás" nélkül is meg tudjuk állapítani, vagy két ilyen kis elemből álló halmazt össze tudunk hasonlítani (melyik több), illetve egyszerű aritmetikai műveleteket is el tudunk végezni. Mindez talán nem lepi meg túlságosan az olvasót. Az benne az érdekes, hogy mind kis gyerekeknél, mind több állatnál kimutatták ezeket a képességeket. Tehát például a papagájunk ki tudná választani egy négyelemű és egy háromelemű halmaz (mondjuk magok) közül azt, amelyikben több van, de nem tudná ugyanezt megcsinálni 12 és 13 elemű halmazokkal. Ezen és hasonló képességeket a szerzők biológiailag elsődleges képességeknek nevezik, amelyek jórészt pusztán biológiai tényezők hatására jönnek létre, a kultúrától függetlenül.

Más képességek a kultúrától is függnek (biológiailag másodlagosak). A két képességcsoport között az egyik fontos különbség, hogy a biológiailag elsődleges képességekhez kapcsolódik valami belső motiváció is - ezek begyakorlását a gyerekek (és az állatok is) érdekesnek találják. Ezzel szemben a biológiailag másodlagos képességeknél - amelyeket nagyrészt az iskolában tanulunk - nincs belső késztetés ezek gyakorlására, praktikusan kevésbé érdekesek a gyerekek számára.

Van a gondolatmenetnek egy következménye az IQ vitára nézve is. Vajon a különböző nemzetek közt mért különbség a rasszoknak és egyéb genetikai tényezőknek köszönhető-e vagy pusztán a kultúra és így a környezet okozza azt? Az elképzelés szerint a biológiailag elsődleges képességeknél nem várunk különbséget különböző nemzetek közt, míg a másodlagosnál igen. Amerikai, kínai és japán gyerekek összehasonlításával éppen ezt kapták, továbbá olyan eredményeket, amelyek megerősítik azt az elképzelést, hogy a mért intelligencia hányados népcsoportok közti különbségei pusztán az eltérő környezetnek köszönhetőek.

A könyv két fejezete hangsúlyosan az oktatás szemszögéből tekint a matematikára. Az egyik tanulmány egy nagyon kedves hangvételű írás Herbert Ginsburg tollából. A könyv korábbi fejezeteivel szemben a szerző kísérletek helyet egyetlen interjún keresztül mutatja be Tobyt, a hat éves kislányt, és a hat éves gyerekek tipikus matematikai gondolkodását. Az interjú itt olyan beszélgetést jelent, amellyel azt próbáljuk kideríteni, hogy hogyan oldanak meg a gyerekek feladatokat, és hogyan értik meg azokat. A teljesen szokatlan párbeszéd és a könnyed hangvételű magyarázatok rámutatnak arra, hogy sokszor a matematika órán azt tanítjuk meg, hogy gondolkodás nélkül, hibátlanul és gyorsan oldjanak meg feladatokat, ahelyett, hogy a kreativitást és a gondolkodás örömét hangsúlyoznánk. Bemutatja például, hogy valójában milyen könnyű a diáknak (és a tanárnak) felfedezni (és felfedeztetni) azt, hogy a kettesével való számolás nem a kettőnégyhatnyolctíztizenkettő mondóka elkántálása, hanem olyan számolás, amikor minden második számot kihagyunk. A hibákkal együtt Tobyt ünnepli az írás - a hibás próbálkozásokban is a szabályszerűség felfedezésére tett erőfeszítést láttatja. Ez a gondolat már ismerős lehet a korábban tárgyalt racionális hibák témaköréből. Ebben a fejezetben újra találkozhatunk olyan problémákkal, amelyek már korábbi fejezetekben szerepeltek, ezúttal azonban nem a kísérletek segítségével érthetjük meg, hanem gyerekekkel való valódi beszélgetés során fedezteti fel velünk a szerző ezeket. Ha valaki idegenkedik a sokszor mégoly elegáns és frappáns kísérletektől, bátran ajánlható ez a fejezet kezdésként - hiszen számos jelenség megértését és felismerését segíti könnyed formában.

A könyv másik, oktatással foglalkozó gyakorlati fejezete egy olyan program lépéseit írja le, amelynek az egyik célja az, hogy segítse a tanulókat abban, hogy a feladatokat valóban megértsék, és ne csak a megadott számok és néhány kulcsszó alapján próbáljon valami hevenyészett megoldást összeeszkábálni (a könyv példája alapján egyes tanulók szerint egy hajón, amelyen 26 bárány és 10 kecske van, 36 éves a kapitány). A probléma már egy korábbi fejezetben is felmerült közvetlen transzlációs stratégia néven. A megoldást olyan, videón is feldolgozott történetekben találták meg, amely a gyerekek számára érdekes problémahelyzeteket ábrázol, és az órán ezeket oldják meg. Például: az iskolában a diákok egy medencét szeretnének. Ehhez ki kell számolniuk, hogy mekkora legyen a medence, hogyan helyezzék el egy adott területen, mennyien fogják várhatóan használni, mennyi kell legyen a belépő, mennyi vízre van szükség, mikor lesz ez a vállalkozás kifizetődő, és egy esetleges közvélemény-kutatás során mekkora mintát kell használni. Ez az egyetlen probléma számos matematikai kérdést vet fel, amelyek így nem unalmas és meglehetősen sematikus szöveges feladatokként jelennek meg, hanem olyan problémaként, amelyek a diákokkal is előfordulhatnak legalábbis az Egyesült Államokban, de érdemes felfigyelnünk a példákra, amelyek már tőlünk sem állnak olyan távol. A fejezet jól használható ahhoz is, hogy konkrét ötleteket merítsünk a felső tagozatos matematika oktatáshoz.

Az utolsó két fejezetben matematikusok vallanak a matematikai gondolkodás természetéről. Jól érezhető a váltás, hiszen megváltozik a terminológia (pszichológiai szemszögből sokszor értelmezhetetlen), és főként személyes elképzelések és benyomások veszik át a fő szerepet. Találkozhatunk olyan témákkal, amelyeket pszichológusok talán pontosabban és részletesebben tudnak leírni (pl. az analógiás gondolkodás szerepe), de vannak olyan problémák is, amelyek jól kiegészítik az egész könyvet, ugyanis a pszichológia kissé elhanyagolja azt (mint pl. az esztétika szerepe a feladatok megoldásában).

A záró fejezet a szerkesztő, Robert Sternberg összefoglalója, amelyben a könyv által felsorakoztatott megközelítéseket és hatásokat összegzi. Egyben megragadja az alkalmat, hogy saját elméletét is népszerűsítse ezek kapcsán: az intelligencia triarchikus megközelítését és a matematikai gondolkodás rokonságát vázolja. Sternberg elképzelése szerint ugyanis az intelligencia három fő pillére az elemzés, a kreativitás és a gyakorlatiasság, s a könyv számtalan példán keresztül mutatta be ezen összetevők nélkülözhetetlen szerepét (bár az oktatásban sokszor sajnálatosan háttérbe szorítjuk mindezt).

A könyv az időnként bosszantó fordítási pontatlanságok ellenére is nagyon jól használható nem csak a matematikai gondolkodás megértéséhez és a matematika oktatásához, hanem bármilyen természettudomány tanításához is. A remekül szerkesztett kötet az elméleti háttértől a gyakorlati ötletekig sok információt nyújt az olvasónak, amely remélhetőleg hozzájárul ahhoz, hogy a hazai oktatás hatékonyabbá váljon, és az oktatás az értelmetlen magolástól a problémamegoldás izgalmas játéka felé mozduljon el.