Per Bak

Közgazdaságtan és közlekedési dugók *

     Eljutottunk az asztrofizikától a geofizikáig, a geofizikától pedig a biológiáig és az agyig. Most még egy lépést teszünk előre a jelenség hierarchiájában: a természet- és a társadalomtudományok határára érkeztünk. Az emberek kölcsönhatásban vannak egymással. Lehetséges, hogy az emberi társadalmak kritikus önszervezett rendszerek? Végtére is az emberi viselkedés a biológia egyik ága, úgyhogy miért kellene ezen a ponton más törvényeket és mechanizmusokat bevezetni? Két konkrét emberi tevékenységet vizsgálunk meg, nevezetesen a gazdasá-got és a közlekedést. Ez a két jelenség talán egyszerűbb más emberi tevékenységeknél. Legalábbis árak, volumenek és sebességek formájában kvantifikálható és mérhető. Ez lehet az oka, hogy a közgazdaságtan független a többi társadalomtudománytól.

Az egyensúlyi gazdaság olyan, mint a víz

     A közgazdaságtan hagyományos egyensúlyi értelmezései a tartályok közötti vízáramlás leírására emlékeztetnek. Termékek és szolgáltatások áramlanak könnyedén a gazdaság egyik szereplőjétől a másikhoz, olyan mennyiségben, hogy a további áramlás vagy üzlet egyik kereskedelmi partner számára sem lehet előnyös. A gazdaságban bekövetkező kis változások, mint például a kamatláb változása, kis áramlásokat okoznak, amelyek kiigazítják az egyensúlyhiányt.
      Vegyünk konkrétan két szereplőt, akik almákkal és narancsokkal rendelkeznek. Az egyiknek sok narancsa és kevés almája, a másiknak sok almája és kevés narancsa van. Minthogy a túl sok alma vagy narancs birtoklása nem biztos, hogy kívánatos, almájuk és narancsuk egy részét kicserélik. A csere előtt a narancs annak a szereplőnek a számára ér többet, aki túl kevés naranccsal rendelkezik. Jól meghatározható mennyiséget cserélnek ki úgy, hogy a narancs mindkét szereplőnek pontosan ugyanolyan számú almát érjen, ami bármely további cserére irányuló ösztönzést kiküszöböl. Ennél a pontnál senkinek sem előnyös a további csere. A szereplők tökéletesen racionálisak, úgyhogy mindketten tudják, mennyi almát vegyenek és adjanak el, mennyinek kell lennie a cserearánynak. Tökéletesen megjósolható a viselkedésük. Vízáramlási analógiánkban két összekötött vizespohárban a víz az egyik pohárból a másikba áramlik, amíg el nem éri az egyensúlyi pontot, amelynél a két pohárban ugyanaz lesz a vízszint.
      Egyensúlyi rendszerekben minden szépen és lineárisan összeadódik. Triviális a sok szerep-lőre való általánosítás; egyszerűen annak felel meg, ha több vizespoharat kötünk össze. A vízcseppek hozzáadásának hatása a vízszintre nézve arányos a cseppek számával. Nem kell törődnünk az egyes vízcseppekkel. A fizikában az ilyen tárgyalásmódot, ahol csak egy globális makrováltozóval – mint a vízszint – van dolgunk, „átlagtér közelítés”-nek nevezzük. A hagyományos közgazdaságtani elméletek annyiban átlagtér-elméletek, hogy makrováltozókkal – mint a bruttó nemzeti termék (GNP), a munkanélküliségi arány, a kamatláb – dolgoznak. A közgazdászok olyan matematikai egyenleteket írnak fel, amelyekről feltételezik, hogy összekötik ezeket a változókat. Az egyéni viselkedés különbségei ebben az eljárásban kiátlagolódnak. Történeti véletlen nem változtathatja meg az egyensúlyi állapotot, mivel a racionális szereplők viselkedése egyértelműen és tökéletesen meghatározott. Az átlagtér módszerek vagy nagyon rendezett, vagy nagyon rendezetlen rendszerek esetében elég jól működnek a fizikában. Teljesen csődöt mondanak azonban kritikus állapotban vagy annak közelében lévő rendszereknél. Sajnos sok jel arra mutat, hogy a gazdasági rendszerek valójában kritikusak.
      A hagyományos közgazdaságtan nem valami sokat ír le abból, ami ténylegesen történik az igazi világban. Nincsenek tőzsdei összeomlások, sem napról napra bekövetkező nagy ingadozások (fluktuációk). A véletlen nem játszik szerepet a tökéletesen racionális rendszerekben, amelyekben minden megjósolható.
      Az egyensúlyi közgazdaságtan még az almákat és narancsokat cserélő szereplők egyszerű példájára sem működik. Egyikük sem tudja, hogy mennyit érnek a narancsok és az almák a másik szereplőnek. Amikor eladják az almákat, lehet, hogy túl olcsón kínálják őket, vagy túl magas árat kérnek, úgyhogy a valódi egyensúlyt soha nem érik el. Lehet, hogy a végén több almájuk lesz, mint amennyit akarnak. A szereplők a valóságban nem tökéletesen racionálisak. A hagyományos közgazdászokkal vitatkozva általában azzal érvelek, hogy közgazdasági elméletüknek engem is tartalmaznia kell, és hogy én bizonyosan nem vagyok tökéletesen racionális, ahogy ők maguk oly meggyőzően bizonyították.
      Az egyszerű egyensúlyi kép rögeszméje talán abból a tényből ered, hogy a közgazdászok régen azt hitték, területüknek olyan „tudo-mányosnak” kell lennie, mint a fizikának, azaz benne mindennek megjósolhatónak kell lennie. Milyen vicces! A fizikában a részletes megjósolhatóság régen leértékelődött, és – mint nagymértékben irreleváns fogalmat – elhagyják. A közgazdászok egy olyan tudományt utánoztak, amelynek természetét nem értették meg.
      A tökéletes racionalitás a dolgokat széppé és megjósolhatóvá teszi. E nélkül a fogalom nélkül hogyan is tudnánk jellemezni a szereplők tudatlanságának mértékét, és hogyan tudnánk akkor bármit is megjósolni? A tökéletes racionalitás gondolatának feladásával szembeni makacssággal először első Santa Fé-beli látogatásom során szembesültem. A Prérifarkas Kávéházban az intézetet látogató különböző tudósok – köztük az egyik legjobb és legokosabb klasszikus közgazdász, Michele Boldrin – társaságában elköltött ebéd alatt a „tökéletes racionalitás fogalom” képtelenségét fejtegettem a valóságos emberek világára nézve. Boldrin egész idő alatt minden érvre bólogatott, és azt mondta: igen, igen, igen. A beszélgetés folytatódott, amint visszasétáltunk az intézetbe. Azonban amikor éppen befordultunk az udvarra, Michele döntött: „Mégiscsak jobban szeretem a ‘tökéletes racionalitás’ fogalmát.”

A valóságos gazdaság olyan, mint a homok

     A gazdaság azonban nem olyan, mint a víz, hanem olyan, mint a homok. A döntések diszkrétek, mint a homokszemek, nem pedig folytonosak, mint a víz szintje. A valóságos gazdaságban, éppúgy, mint a homokban, súrlódás van. Nem hirdetünk és visszük az almánkat a piacra, ha a néhány alma és narancs kicserélésének várható eredménye túl kicsi. Csak akkor adunk és veszünk részvényeket, ha elérünk valamilyen küszöbértéket, egyébként passzívak maradunk, csakúgy, mint ahogy a földkéreg is stabil, amíg valamely részére gyakorolt erőhatás el nem ér egy küszöböt. Nem igazítjuk hozzá részvénycsomagunkat folyamatosan a piaci ingadozásokhoz. A számítógéppel lebonyolított kereskedelemben ezt a küszöb-dinamikát kifejezetten beprogramozták döntési sémánkba. Döntéseink tapadósak. Ez a súrlódás megakadályozza az egyensúly elérését, ahogy a homok súrlódása megakadályozza a homokdomb ellaposodását. Ez teljesen megváltoztatja az ingadozások természetét és mértékét a gazdaságban.
      A közgazdászok becsukják a szemüket, és feltartják a kezüket, ha szóba kerülnek a piaci ingadozások, mert az egyensúlyi elméletben semmilyen nagyobb ingadozás nem lehetséges. „A tőzsdei emelkedések és csökkenések magyarázatai a viccrovatokba tartoznak” – mondja Claudia Goldin, egy közgazdász a Harvardról. Ha ez így van, akkor mit magyaráznak meg a közgazdászok, kérdezheti valaki?
      A különböző gazdasági szereplők saját, látszólag véletlen, idioszinkretikus viselkedésüket követik. E véletlenség dacára, léteznek egyszerű statisztikai mintázatok a piacok és árak viselkedésében. Már az 1960-as években, néhány évvel a természeti fraktálmintázatok megfigyelése előtt, Benoit Mandelbrot elemezte a gyapot- és acéltőzsdék, valamint más termékek árainak ingadozásait. Mandelbrot felrajzolta a gyapotárak havi változásainak hisztogramját. Megszámolta, hány hónapban 0,1%-os (vagy -0,1%-os) a változás, hány hónapban 1%-os, hány hónapban 10%-os stb. (1. ábra). Az áringadozásokra nézve „Levy-eloszlás”-t tapasztalt. A Levy-eloszlás fontos tulajdonsága, hogy a nagy eseményekre vonatkozó végén hatványtörvényt követ, akárcsak a földrengések Gutenberg–Richter-törvénye. Eredményeit a közgazdászok jórészt figyelmen kívül hagyták, talán mert a leghalványabb fogalmuk sem volt arról, hogy miről is van szó.
      A közgazdászok hagyományosan eltekintenek a nagy ingadozásoktól, „atipikusként” kezelik őket, amelyek nem tartoznak a közgazdaságtan általános elméletébe. Minden egyes esemény megkapta a maga saját történeti magyarázatát és azután eltávolították az adathalmazból. Az egyik összeomlást a programozott kereskedelem bevezetésének tulajdonították, a másikat a részvényvásárláshoz adott túlzott pénzkölcsönöknek. Ezenkívül „trendtelenítették” vagy „kiválogatták” az adatokat, eltávolítva bizonyos hosszú távú piaci növekedéseket vagy csökkenéseket. Végül a minta csak kis ingadozásokat mutatott, és már teljesen érdektelen volt. A mintából műtétileg eltávolították a nagy ingadozásokat, ami azt jelenti, hogy a fürdővízzel együtt a gyereket is kiöntötték. A tény azonban, hogy a nagy események ugyanazt a viselkedést mutatják, mint a kis események, azt jelzi, hogy egyetlen közös mechanizmus működik minden skálán – akárcsak a földrengéseknél és a biológiában.
      Hogyan nézne ki egy általános gazdasági modell? Lehet, hogy nagyon hasonlítana a biológiai evolúció szaggatott egyensúlyi modelljére. Bizonyos számú szereplő (fogyasztók, termelők, kormányok, tolvajok és közgazdászok) kölcsönhatásban vannak egymással. Minden egyes szereplő számára a lehetőségek korlátozott halmaza érhető el. Lehetőségeit ki-ki boldogságának (vagy „hasznosságfüggvényének”, ahogy a közgazdászok mondják, hogy tudományosabban hangozzék) növelése érdekében törekszik kihasználni, ahogy a biológiai fajok javítják mutáció révén az alkalmazkodásukat. Ez hat a gazdaság más szereplőire, akik viselkedésüket hozzáillesztik az új helyzethez. A gazdaság leggyengébb szereplői kiselejteződnek, és helyettük más szereplők jelennek meg, vagy pedig módosítják stratégiájukat, például a sikeresebb szereplők másolása révén.
      Ezt az általános képet még nem dolgozták ki. Megszerkesztettünk azonban egy leegyszerűsített játékmodellt, amely bepillantást enged a közgazdaságtan igazán interaktív, holisztikus elméletének lehetséges működésébe.

A kritikus gazdaság egyszerű játékmodellje

     A Santa Fe Intézetben 1988-ban megtartott bevezető előadásom után pár nappal a Chicagói Egyetemről Michael Woodford és Jose Schinkman lépett be intézeti szobámba, és meg akarták vitatni a közgazdaságtan egyik homokdomb-típusú modelljét. Mike a hagyományos iskolához tartozó közgazdász, nagyon okos és nagyon konzervatív, míg Jose már kísérletet tett a káoszelméletnek a közgazdaságtanra való alkalmazására. Felvázolták ötleteiket a táblára, és én nagyon lelkes lettem.
      Ötletük a fogyasztók és termelők leegyszerűsített hálózatának megszerkesztése volt. Ez nagyon termékeny, bár eléggé fáradságos együttműködésre vezetett, amely visszatükrözte a fizika és a közgazdaságtan nagyon eltérő működési módjait.
      Az elméleti közgazdászok csak analitikusan, papír-és-ceruza-matematikával megoldható modellekkel szeretnek foglalkozni. Ezt mindig meglehetősen viccesnek találtam. A fizika sokkal egyszerűbb tudomány a közgazdaságtannál, mindazonáltal nagyon ritkán vagyunk képesek matematikai értelemben „megoldani” a problémákat. Még a világ legkifinomultabb matematikája sem elegendő a fizika sok problémájának szigorú tárgyalására. Időnként numerikus szimulációkat használunk; máskor közelítő elméleteket. Ezeknek a közelítéseknek némelyike bizonyára elrettentő hatást gyakorol egy matematikusra. Azonban, bár időnként puszta intuíción alapulnak, mégis jól működnek, és rengeteg bepillantást engednek a fizika lényegébe. A fizikus egyik piszkos matematikai trükköt csinálja a másik után. Állandóan ott fut azonban mögötte egy matematikus, aki végül majdnem utoléri, és azt ordítja: „Amit csináltál, az rendben van!”
      Úgy tűnik számomra, hogy a közgazdaságtan – az előforduló rendszerek bonyolultsága miatt – nem igényel pontos matematikai megoldásokat. Valóban, a modell, amivel előjöttünk, egyszerűsége dacára sem oldható meg matematikai módon. Visszamentem Brookhavenbe, ahol Kan Chen, a munkatársam, akivel az életjáték-szimulációt csináltam, elvégezte a modell numerikus szimulációit. A modell ténylegesen kritikus volt, mindenféle méretű lavinákkal. Mike azonban eléggé aggódott a megoldás numerikus jellege miatt, és Kan Chen, valamint jómagam tovább dolgoztunk a problémán, amíg találtunk egy modellt, amelyet mindenki megelégedésére a tudományos tartalom feláldozása nélkül meg lehetett oldani matematikailag.
      A modellt a 2. ábra szemlélteti. Ez a termelők egy hálója, akik mindnyájan két eladótól vesznek termékeket, előállítják a saját termékeiket, és eladják azokat két vevőnek. A termelők a folyamatot véletlen mennyiségű termékkel a raktáron indíthatják, vagy esetleg üres raktárakkal. Mindegy. Minden időszak – mondjuk minden hét – elején a termelők egy vagy nulla egységnyi rendelést kapnak minden egyes fogyasztótól. Ha elegendő termékük van raktáron, akkor leszállítják azokat a fogyasztók részére; ha nincsen elég, akkor rendeléseket adnak fel két eladójuk számára, mindegyiktől egy egységet kapnak, és termelnek két egységnyit, hogy teljesítsék a rendelést. Ha ezek után az ügyletek után marad egy egységük, azt elraktározzák a következő hétig. Így minden termelő kettős szerepet játszik: elad a vevőinek és vásárol az eladóitól. A folyamat a hálózat felső sorában kezdődik, amely a fogyasztókat képviseli, és az alsó sorban végződik, amely a nyersanyagtermelőket képviseli.
      Először azt a helyzetet vettük, amikor minden héten egyetlen „lökés” indítja be a gazdaságot, csak egy fogyasztó igényel termékeket. Ez a kezdeti kereslet a hálózatban „leszivárgó” hatáshoz vezet. A 3. ábra mutatja a hálózat egy tipikus állapotát, minden termelőnél megjelölve a raktáron lévő termékek számát az előző heti üzletek befejezése után. Az üres kör a nulla egységet, a tele kör az egy egységet jelöli. Az első eladónak semmije sincs raktáron. Õ két egységet kap az eladóitól, egy egységet elad a vevőnek, és megtart a raktárban egy egységet a következő hétre. Eladóinak ténylegesen nincsenek meg az igényelt termékek a raktárban, és tovább kell adniuk a rendeléseket lefelé a hálón. Nagyszámú esemény után a lavina megáll. Az ábra mutatja a lavina méretét és az eladók raktáraiban lévő készletet a hét végén. Tehát kis lökések nagy lavinákhoz vezethetnek. Az esemény hozzájárulása a GNP-hez a lavina területe, azaz a lavina során előállított termékek teljes mennyisége.
      Azért voltunk képesek megoldani a modellt, mert hozzá tudtuk kapcsolni egy másik modellhez, amelyet a homokdombokkal összefüggésben korábban Deepak Dhar és Ramakrishna Ramaswamy megoldott Bombay-ben a Tata Intézetben. A modell irányított abban az értelemben, hogy az információ a hálózatban csak lefelé terjed, felfelé nem. Dhar és Ramaswamy kimutatták, hogy a lavinák eloszlása hatványtörvényt követ, N(s) = s^-t; t = 3/4 mellett.
      A hatványtörvényről a Mandelbrot által megfigyelt Levy-törvényre való átmenethez mindössze azt a helyzetet kell tekintenünk, amelyben minden héten nem egyetlen, hanem számos fogyasztó van, akik mind végterméket igényelnek. Mindegyik igény egy lavinához vezet, úgyhogy minden nap sok különböző méretű lavina jelentkezik. Pontosan ki lehet mutatni, hogy nagyon sok fogyasztó esetén a teljes tevékenység eloszlása a Levy-függvényt követi. Ezt egy egyszerű matematikai számítás segítségével tudtam bebizonyítani, amely minden fizikus szigorúság iránti igényét kielégítené. Mindazonáltal módszereim nem elégítették ki nagyon igényes munkatársaimat, akik addig nem adták meg magukat, míg meg nem találták egy matematika-tankönyvben a – hatványtörvény szerinti eloszlást követő – véletlen változók összegzésére vonatkozó formulát, amely a Levy-eloszláshoz vezetett.

Az ingadozások és a katasztrófák elkerülhetetlenek

     Következtetésünk az, hogy a megfigyelt nagy ingadozások olyan gazdaságra utalnak, amely önszervezett kritikus állapotban működik, amelyben kis lökések mindenféle méretű lavinákhoz vezethetnek, mint a földrengések esetében. Az ingadozások elkerülhetetlenek. Nincs mód rá, hogy stabilizálhassuk a gazdaságot, és a kamatlábak szabályozása vagy más eljárások révén megszabaduljunk az ingadozásoktól. Végül valami más és teljesen váratlan dolog fel fog borítani minden gondosan felépített egyensúlyt, és a rendszerben valahol máshol bekövetkezik egy nagyméretű lavina.
      Kritikus gazdaságunkkal ellentétben a sok kis független lökés által hajtott egyensúlyi gazdaság sokkal kisebb ingadozásokat mutatna. Azokat az ingadozásokat egy Gauss-görbe – ismertebb nevén „haranggörbe” – írja le, amelynek elhanyagolható végei vannak. Egy egyensúlyi gazdaságban nem lehetnek nagy ingadozások vagy katasztrófák.
      Bár a közgazdászok nem értik a gazdaság nagy ingadozásait, az ingadozások biztosan jelen vannak. Karl Marx a munkanélküliségnek, az áraknak és a termelésnek ezeket az ingadozásait egy halódó kapitalista társadalom szimbólumának látta. Az ő szemében a kapitalista társadalom válságról válságra vándorolt. A centralizált gazdaság mindenki javára – de legalábbis a munkásosztályéra – kiküszöbölné az ingadozásokat. Marx amellett érvelt, hogy a minőségi változások eléréséhez az egyetlen út egy nagy lavina, nevezetesen egy forradalom.
      Alan Greenspan, a Nemzeti Bank elnöke az inflációs robbanások elkerülése érdekében manipulálja a kamatlábat – még akkor is, ha ezzel lelassítja a gazdaságot. Greenspan és Marx nézeteiben közös az az elképzelés, hogy az ingadozások rosszak, és egy egészséges gazdaságban elkerülendők.
      Ha gazdaság valóban kritikus állapotba szervezi magát, akkor még elvileg sem lehetséges az ingadozások elnyomása. Természetesen, ha mindent tökéletesen meghatároznak központilag, akkor az ingadozások elnyomhatók. A homokdomb-modellben az ember gondosan építheti a homokdombot addig a pontig, amíg el nem éri a maximális magasságot. Az elvégzendő számítások és döntések mennyisége azonban csillagászati lenne, és lehetetlen volna kivitelezni. És ami még fontosabb – ha valakinek tényleg sikerült ezt a maximális meredekségű dombot megépíteni, akkor bármilyen kicsiny hatás hatalmas összeomlást okozna. A szovjet birodalom végül egy óriás-lavinában omlott össze (amit Marx nem jósolt meg). Az is lehetséges azonban, mint a következőkben más összefüggésben megmutatjuk, hogy a gazdaság leghatékonyabb állapota az, amikor mindenféle méretű ingadozások előfordulnak benne.

Közlekedési dugók

     Szélesebb értelemben a közgazdaságtan az emberi kölcsönhatásoknak a termékek és szolgáltatások kicserélése révén történő módjaival foglalkozik. A valóságos világban az egyes szereplők korlátozott választási lehetőségekkel és a hozzáférhető információ korlátozott feldolgozási képességével, vagyis „korlátozott racionali-tással” rendelkeznek. Bizonyos értelemben az egyes szereplők helyzete hasonlít az autóvezetőéhez a zsúfolt országút forgalmában. Maximális sebességét korlátozzák az előtte haladó autók (és talán a rendőrség); az előtte haladó autótól való távolságát korlátozza fékezési képessége. Autója mechanikai tulajdonságai és az út hepehupái miatt véletlen lökéseknek van kitéve.
      A német Duisburgi Egyetemen Kai Nagel és Michael Schreckenberg készítettek ezen az elven egy egyszerű sejtautomata-modellt az egysávos országúti közlekedésre. Az autók 0, 1, 2, 3, 4 vagy 5 mértékegységnyi sebességgel mozoghatnak. Ez a sebesség határozza meg, hogy hány „autóhossz”-at tesznek meg az egyes autók a következő időegység alatt. Ha egy autó túl gyorsan megy, le kell lassítania az összeütközés elkerüléséhez. Az előtte haladó miatt lelassult autó később megint felgyorsít, ha lehetősége van rá. A gyorsulási képesség kisebb a fékezésinél, azaz 0-ról 5-re gyorsítani több időegységet igényel, mint 5-ről 0-ra fékezni. Az úton lévő autók teljes számától függően két lehetséges helyzet adódik. Ha kevés az autó, akkor az autók szabadon áramlanak csak kis közlekedési dugókat okozva. Ha a sűrűség nagy, akkor erős zsúfoltság lesz.
      Pár évvel ezelőtt Kai Nagel meglátogatott bennünket, amikor még végzős hallgató volt Németországban. Kai már elvégzett egy elméleti meteorológiai vizsgálatot, bizonyítva, hogy a fraktál felhők keletkezése önszervezett kritikus folyamat. Maya Paczuski és Kai az egy nagy közlekedési dugóból kijövő forgalmat tanulmányozták. Gondoljunk a Long Island-i autópályára, amely a Manhattanbe vezető Queens Midtown alagúttól indulva fut végig Long Islanden. Egy olyan elmélettel álltak elő, amely le tudja írni a csúcsforgalom idején az alagútból kijövő forgalmat, ahol is a lehető legnagyobb számú autó pumpálódik bele az autópályába. Minden Long Islanden lakó számára ismerősek a sokszor kialakuló hatalmas közlekedési dugók az autópályán, amelyet „a világ legnagyobb parkolójának” neveznek.
      A 4. ábra mutatja a számítógép által szimulált közlekedési dugókat. A vízszintes tengely az országút, a függőleges tengely az idő. Az idő lefelé növekszik. Az autókat fekete pontok mutatják. Az autók egy balra lévő hatalmas dugóból származnak – amely nem látható – és mind jobbra mozognak. Az ábra lehetővé teszi a forgalom időbeli és térbeli mintázatának követését. Minden időegység alatt minden autó helyzete jobbra tolódik az autó sebességének megfelelő mértékben. A közlekedési dugókat a sűrű sötét területek mutatják, ahol az autók közötti távolság kicsiny. Az autók helyzete két egymást követő vízszintes vonal között szintén csak keveset változik, mert sebességük kicsi.
      A közlekedési dugók azonban minden ok nélkül is kialakulhatnak! Ezek „fantom” közlekedési dugók. Egyetlen autó sebességének 5-ről 4-re való véletlen csökkenése elegendő egy hatalmas dugó létrehozásához. Korábban találkoztunk ugyanezzel a helyzettel: a földrengések, a biológiai evolúció, a folyók kialakulása és a tőzsdei összeomlások esetében. Nincs szükség katasztrofális kiváltó eseményre (mint egy közlekedési baleset). Természetes intuíciónk, miszerint a nagy eseményekhez nagy lökések szükségesek, csődöt mondott. Semmi értelme konkrét okokat keresni a dugók esetében.
      A közlekedési dugók fraktálok, azaz olyan önhasonló alakzatok, melyekben a nagyobb dugók rendre egyre kisebbeket foglalnak magukba, s ez a folyamat a végtelenségig tart. Ez képviseli a bosszantó állj-és-menj vezetési mintázatot, amelyet mind ismerünk a zsúfolt forgalomból. Az ábrán követni lehet az egyes autókat, és meg lehet figyelni az állj-és-menj viselkedést.
      Mint az ábrán látható, a közlekedési dugók nem előre, hanem hátrafelé haladnak. Összehasonlításként megmutatunk a 5. ábrán egy hasonló képet Németország egyik valódi országútjának forgalmáról. Az ábra alapját az autópályáról szabályos időközökben készült fényképek alkotják. Vegyük észre, hogy az általános tulajdonságok ugyanazok, mint a számítógépes szimulációnál, beleértve a dugók hátrafelé mozgását is. Végül a dugók eloszlanak. Széles körű számítógépes szimulációkban mindenféle méretű közlekedési dugót vizsgáltak. Természetesen (kitalálhatják!) hatványtörvény-eloszlást találtak. A hatványtörvény kitevője 3/2-hez közelinek tűnt. Ez vetette fel a jelenség egy elegáns, de egyszerű elméletét, a véletlen bolyongás elméletét.
      Minden dugó egy véletlen gócpontban kezdődik az ábra tetején. Minden időegységben a dugó mérete vagy nőhet valamilyen valószínűséggel, vagy csökkenhet ugyanezzel a valószínűséggel. Emiatt a fifty-fifty helyzet miatt a folyamat kritikus. A folyamatot meg lehet matematikailag oldani, és hatványtörvény eloszlást ad pontosan a szimulációk által sugallt 1,5-es kitevővel.
      Az országúti forgalom az 1/f zaj klasszikus példája. Több mint 20 évvel ezelőtt T. Musha és H. Higuchi megmérték Japánban a Kanai autópályán a forgalom áramlását az idő függvényében, úgy, hogy egy hídon álltak az országút felett, és mérték az időt, amíg az autók áthaladtak a híd alatt. A kvazárokból származó fénygörbéhez hasonlót figyeltek meg. A spektrális eloszlás mérésekor minden frekvencia-összetevőt megtaláltak a híres 1/f eloszlással. Kai és Maya ugyanezt a mérést végezték a számítógép által szimulált közlekedési adatokon. Egy hídon állni és megfigyelni a közlekedést ugyanaz, mint egy függőleges vonal mentén mérni a fekete pontok mintázatát. A számítógépes szimulációkban megtalálták az 1/f ^a zajt is (6. ábra). Sőt, matematikailag be tudták bizonyítani, hogy a=1, egy kaszkád mechanizmusból, ahol az aldugók minden időegységben vagy növekedhetnek, vagy kihalnak, vagy több dugóra ágaznak el. Ez egyszer rendelkezésünkre áll a nehezen megfogható 1/f zaj pontos és teljes értelmezése egy olyan modell-rendszerben, amely ténylegesen leírja a valóságot. Ami az általunk tanulmányozott többi jelenséget illeti, az 1/f zaj a skálamentes lavináknak köszönhető az önszerveződő kritikus rendszerben. A közlekedés esetében az 1/f zaj a bosszantó, megjósolhatatlan állj-és-menj viselkedés leírása a közlekedési dugókban.
      Kai és Maya megvizsgálták azt a helyzetet, amikor csak nagyon ritka véletlen ingadozások indították el a közlekedési dugókat. Érdekes módon kimutatták, hogy a technikai fejlesztések – mint az automatikus sebességtartás vagy a vezetés radartámogatása – hajlamosak csökkenteni a maximális sebesség körüli ingadozásokat, és így növeli eredményeik érvényességének tartományát. Ezeknek az áramlást szabályozó technikáknak az egyik akaratlan következménye, hogy ha működnek, akkor ténylegesen közelebb viszik a közlekedési rendszert a kritikus pontjához, ezáltal megnehezítik az előrejelzést, a tervezést és az irányítást, éles ellentétben az eredeti szándékokkal. Vegyük észre a gazdaság (vagy a homokdombok) szabályozásával való analógiát. Az önszerveződő kritikus állapot természettörvény, amely alól nincs felmentés.
      Még egy utolsó megfigyelést tettek. A közlekedési dugók olyan kényelmetlenségek, amelyeket megjóslásukra való képtelenségünk erősít fel. Időnként lelassít bennünket egy nagy dugó, máskor nem. Esetleg gyaníthatnánk, hogy lehetne a közlekedéssel hatékonyabban is bánni. Ténylegesen nem lehetne. A mindenféle méretű dugókkal terhes kritikus állapot a leghatékonyabb állapot. A rendszer a kritikus állapotra önszervezett – az autók legnagyobb áteresztőképessége mellett. Ha a sűrűség egy picit kisebb volna, akkor az országút alulhasznosított lenne, ha pedig a sűrűség picit nagyobb volna, akkor egyetlen nagy állandó óriásdugó lenne, amely elnyelné az autók egy részét. Az áteresztőképesség mindkét esetben kisebb lenne.
      Pontosabban a kritikus állapot a leghatékonyabb dinamikailag ténylegesen elérhető állapot. Egy gondosan eltervezett állapot, ahol az összes kocsi 5 egységnyi sebességgel haladna, nagyobb áteresztőképességgel rendelkezne, de katasztrofálisan instabil volna. Ez a nagyon hatékony állapot már sokkal korábban összeomlana, mint ahogy az autókat egyáltalán megszerveznénk.
      Ez gondolkodóba kell ejtsen bennünket a gazdaságra általában való alkalmazásnál. Lehet, hogy Greenspan és Marx tévednek. A gazdaság legegészségesebb állapota a kapitalista gazdaság decentralizált önszervezett kritikus állapota lehet, mindenféle méretű és időtartamú ingadozással. Lehet, hogy az árak és a gazdasági tevékenység ingadozása kényelmetlen (különösen, ha rajtunk csattan), de ez a legjobb, amit tehetünk!
      Az önszervezett kritikus állapot az összes ingadozásával együtt nem a lehető legjobb állapot, de a legjobb dinamikailag elérhető állapot.

Szegedi Péter fordítása

* Az itt közölt írás a szerző „How Nature Works. The science of self-organized criticality” c. műve 11. fejezetének fordítása. On economics and traffic jams. In: How Nature Works, Copernicus Springer Verlag, New York, 1996, 183-198 old. A fordítás a T20370 számú OTKA kutatás támogatásával készült. (vissza)

1. ábra
A gyapotárak havi változásainak eloszlása

Mandelbrot, B.: The Variation of Certain Speculative Prices, Journal of Business of the University of Chicago 36 (1963) 307. old.
(vissza)

2. ábra.
A kölcsönhatásban álló termelők modellje. Minden termelő a felette lévő sor két fogyasztójától kap rendeléseket. Ha nincs elég terméke raktáron, akkor továbbadja a rendelést a hálón lefelé két eladónak, kap minden egyes eladótól egy egység terméket, és termel két egységet a saját termékéből, azután leszállítja a megrendelt mennyiségű terméket. Ha az ügyletek után marad egy egység a termékéből, akkor azt raktáron tartja a következő körig. A folyamatot az ábra tetején fellépő fogyasztói kereslet indítja el.

Bak, P., Chen, K., Scheinkman, J. A., Woodford, M.: Aggregate Fluctuations from Independent Shocks: Self-organized Criticality in a Model of Production and Inventory Dynamics. Ricerche Economiche 47 (1993) 3. old.
(vissza)

3. ábra.
A hálózat mielőtt (a) és miután (c) egyetlen – a nyílnál lévő – igény kiváltott egy lavinát. A nyíl a rendelések áramlását mutatja. A termékek az ellenkező irányban áramlanak. A fekete pontok azokat a szereplőket jelzik, akiknek egy egység termékük van raktáron. A szürke pontok jelzik azokat a szereplőket, akiknek termelniük kell az igények kielégítése érdekében. A bekerített terület jelzi a lavina méretét.

Bak, P., Chen, K., Scheinkman, J. A., Woodford, M: Aggregate Fluctuations from Independent Shocks: Self-Organized Criticality in a Model of Production and Inventory Dynamics. Ricerche Economiche 47 (1993) 3. old
(vissza)

4. ábra.
Számítógép által szimulált közlekedési dugó. A vízszintes irány az országutat jelzi. Az autókat fekete pontok mutatják. Az idő lefelé telik. A pontok az egyes autók vonalként megjelenő pályáit hozzák létre. A nagy autósűrűséget kísérő sötét területek a közlekedési dugót jelzik. A mintázat egy bal oldali óriási dugóból keletkezett, amely maximális mértékben pumpálja az autókat az országútba. A jobb oldalon kialakuló dugót egy, a jobb felső sarokban lévő autó lelassulása váltotta ki.

Nagel, K. és Paczuski, M.: Emergent Traffic Jams. Physical Review E 51 (1995) 2909. old.
(vissza)

5. ábra.
Közlekedési dugó egy német országúton légifelvételről. Hasonlít a 4. ábra numerikus szimulációból származó képéhez, minden vonal egy jármű mozgását képviseli.

Treiterer, J. Aereal Traffic Photos. Technical Report PB 246 094. Columbus, OH: Ohio State University, 1994
(vissza)

6. ábra.
Közlekedési dugó spektrális eloszlása.

Nagel, K. and Paczuski, M: id. mű, lásd a 4. ábrát
(vissza)