Wittgenstein Russell-kritikája:

“Ha a nyelvről beszélek, akkor a mindennapok nyelvét kell beszélnem”¹

Dolgozatomban Wittgenstein Tractatusából kiindulva kívánom bemutatni a russelli típuselméleti logikával szemben kifejtett wittgensteini kritikát. Ezt a továbbiakban egyrészt arra szeretném felhasználni, hogy számot adhassak Wittgenstein saját logikai elképzeléseinek néhány jelentős vonásáról, másrészt, hogy a Tractatus-beli matematikát illető megjegyzések, valamint a ’korai’ Wittgenstein logika- és matematikafelfogása között fennálló analógia alapján a wittgensteini matematikakoncepcióra vonatkozóan is következtetéseket vonhassak le. A Tractatus alapján logikáról és matematikáról egyrészt azt állítom, hogy ezek lényegüket tekintve nem elméletek, hanem valamilyen tevékenységként ragadhatók meg; másrészt, az előző konklúziótól nem teljesen függetlenül azt, hogy sem a logika, sem a matematika nem ragadható meg valamilyen metaelméleti keretben a logika, illetve matematika működését általánosságban tárgyaló filozófiaként.

A dolgozat alcímében szereplő idézettel is ez utóbbi konklúzióra szeretnék utalni a ’késői’ Wittgenstein szavaival. Másrészt arra a tényre kívánom felhívni a figyelmet ezzel, hogy Wittgensteinnek a 20-as és 30-as évek fordulóján a Hilbert-programmal szemben gyakorolt kritikájában a matematika fent vázolt vonásai jelentős szerepet játszanak annak ellenére, hogy a Tractatus megírása óta eltelt idő alatt a matematikát illetően Wittgenstein gyökeresen változtatta meg elképzeléseit.

1. Logika

   1. A logika nem elmélet

A russelli logikát illetően kiindulópontom alapvetően az lesz, amit erről a Tractatusból kiolvashatunk. Eszerint Russell felfogásában a logika egy axiomatikus deduktív rendszer. Ez annyit jelent, hogy a logikai állítások egy csoportját mint nyilvánvalóan igaz kijelentéseket különíthetjük el, melyek nyilvánvalósága garanciául szolgál a többi logikai kijelentés igazságára nézve. Emellett szabályokat fogalmazhatunk meg egyrészt arra vonatkozóan, hogy melyek azok a kijelentések, melyeket mint jól formáltakat a logikai szimbolizmus részének tekinthetünk, az ilyen szabályokat nevezem szintaktikai szabályoknak. Másrészt a megfogalmazott szabályok egy másik csoportja azt rögzíti, miként kaphatunk az axiómákból újabb logikai igazságokat, ezek a logika levezetési szabályai.

Ehhez képest Wittgensteinnél a logika a Tractatusban kifejtett metafizikai rendszer egyik fő pillérét alkotja: kanti értelemben véve transzcendentálisnak mondhatjuk, azaz bármely nyelvhasználat, a világra vonatkozó bármely beszéd lehetőségfeltételét ragadja meg. A logika tehát egy forma, amely az emberi nyelvhasználat sajátja, azonban éppen ezáltal a sajátság által válik lehetővé, hogy a nyelv jeleit a világban fennálló tényekre vonatkoztassuk. Ez a lehetőség tehát egyúttal a világ szerkezetét is jellemzi számunkra: ebben az értelemben azt mondhatjuk tehát, hogy a logika a nyelv és a világ közös struktúrája.² Mindezek mellett Wittgenstein utal egy ideális formális nyelv kidolgozásának igényére és egyszersmind lehetőségére is, melyet amiatt nevezhetünk ideálisnak, hogy a formalizmus hordozza mindazokat a tulajdonságokat, amik által a logika alkalmas a fent vázolt metafizikai szerep betöltésére. A Wittgenstein által megkövetelt formális nyelv kijelentései között elkülöníthető egy speciális csoport, melyek attól függetlenül lesznek igazak, hogy a világban milyen tények állnak fenn. Ezeket nevezi Wittgenstein logikai kijelentéseknek vagy tautológiáknak. Miután ezek a világra vonatkozóan semmilyen információt nem közölnek velünk, Wittgenstein szavaival élve értelem nélkülieknek nevezhetjük őket, és ebben az értelemben mondhatjuk azt is, hogy “[a] logika nem tan”³, nem elmélet. Azonban a tautológiák nem értelmetlenek⁴, hiszen “[a]z a körülmény, hogy a logika kijelentései tautológiák, a nyelv, a világ formális logikai tulajdonságait mutatja”⁵. Tehát a tautológiák implicit módon közvetítik számunkra, mutatják a világ és a nyelv közös struktúráját, azt a struktúrát, ami lehetővé teszi, hogy a világ tényeiről egyáltalán beszélni tudjunk.

2. A logika nem axiomatikus, hanem cselekvésjellegű

Russell logikájában az axiómák azáltal élveznek különleges pozíciót, hogy igazságuk nyilvánvaló, nem szorulnak további bizonyításra. A belőlük kiinduló logikai bizonyítások ezt az igazságot tovább örökítik a logika levezetett tételeire, így ezek igazságát közvetve az axiómák nyilvánvalósága fogja garantálni. Ezzel szemben a wittgensteini rendszerben “[m]inden tautológia maga mutatja azt, hogy tautológia”⁶, azaz minden logikai kijelentés nyilvánvalóan igaz. Emiatt “[a] bizonyítás a logikában csak mechanikus segédeszköz, hogy a tautológiát a bonyolult esetekben könnyebben felismerjük”⁷, a wittgensteini bizonyításnak tehát nem kell igazolásnak lennie, hiszen a logikai kijelentések igazsága eleve adott. Arra vonatkozóan azonban Wittgenstein nem ad végső választ, hogy milyen jellegű is ez a mechanikus segédeszköz. Kézenfekvő volna ezt a mechanizmust az igazságtáblázatok tractatusi módszerében keresnünk, ám Wittgenstein mást javasol: a tautológiák bizonyítása során ugyanis “anélkül, hogy értelmével és jelentésével törődnénk, […] előállítjuk őket más logikai kijelentésekből, meghatározott műveletek szukcesszív alkalmazásával, amely műveletek az elsőkből ismét tautológiákat hoznak létre”.⁸ Mi az a momentum, ami Wittgenstein számára nélkülözhetővé teszi, hogy igazságukat tekintve némely logikai kijelentésekre mint a többinél bizonyosabbakra kelljen támaszkodnia? Ez nem más, mint a logika kitüntetett metafizikai státusza. Wittgenstein szavaival élve: “A nyilvánvalóság (evidencia), amelyről Russell oly sokat beszélt, csak úgy válhat nélkülözhetővé a logikában, hogy a nyelv maga minden logikai hibát megakadályoz. – A logika a priori volta abban áll, hogy nem lehet nem logikailag gondolkodni.”⁹ Ebből Wittgenstein számára következik, hogy “[a] logika kijelentései egyenjogúak; nincsenek köztük lényegi alapelvek és levezetett tételek”¹⁰.

A fentiekben egyrészt azt láttuk, hogy a logikában nincs szükség valódi bizonyításokra, csupán puszta kalkulációkra, azaz jeleken végrehajtott fizikai aktusokra. A logika tehát valamilyen cselekvés révén jut el újabb és újabb tautológiákhoz; ahhoz azonban, hogy a logikát lényegileg cselekvésjellegűként foghassuk fel, nemcsak arra van szükség, hogy a bizonyítás mechanizmusa számára ne fogalmazzunk meg működési szabályokat. Azt is meg kell mutatni – és éppen ez lesz az 1.4 fejezet tárgya –, hogy ezeket a szabályokat semmilyen nyelven belül nem tehetjük explicitté. A fentiek másik fontos következménye az a tény, hogy a wittgensteini logika nem axiomatikus abban az értelemben, amelyben a russelli. Mit mondhatunk ennek fényében a wittgensteini tautológiák közti viszonyokról? Az egyik lehetőség, hogy a tractatusi logikában egyáltalán nincs szükség arra, hogy axiómákat különítsünk el, miután a tautológiák hálószerű viszonyba rendeződnek. A “meghatározott műveletek” szukcesszív alkalmazásával bizonyos tautológiákból másokhoz juthatunk, és még az sincs kizárva, hogy idővel a kiinduló kijelentések valamelyikéhez jutunk vissza. A másik lehetőség szerint választunk ugyan axiómákat mint kiindulópontokat, ehhez azonban kizárólag logikán kívüli praktikus szempontokra van szükség: olyan “egyszerű eseteket” kell keresnünk, melyekkel a “bonyolult esetek” is átláthatóvá tehetőek.

3. Az ideális formális nyelven nem írhatunk elő szintaktikai szabályokat ugyanezen nyelv számára

A fenti megállapítás kiindulópontja az, hogy Russell például a “függvény”, “szám”, “típus” terminusokat logikája felépítésekor anélkül használja, hogy ezekre pontos definíciót adna. Ez már a russelli logikai keretet alapul véve is problémásnak adódik: nem tudhatjuk ugyanis, hogy ezek a fogalmak vajon minden típusban ugyanazzal a jelentéssel bírnak-e. Akkor válik mindez különösen problémássá, ha emellett elfogadjuk Wittgensteinnek azt a definíciókkal szemben felállított követelményét, mely szerint “[h]a bevezetünk egy alapfogalmat, akkor be kell vezetnünk mindazon kapcsolatokban, amelyekben egyáltalán előfordul”¹¹. Ekkor ugyanis nem tehetjük meg azt sem, hogy a fenti fogalmakat külön-külön típusról típusra újra definiáljuk. Mindez könnyen elkerülhető volna azzal a megszorítással, hogy az ideális formális nyelvben nem alkalmaznánk olyan szimbólumokat, melyek a fenti fogalmaknak felelnének meg. Ez a megszorítás viszont azzal a következménnyel járna együtt, hogy a tractatusi formalizmusból ki kellene zárnunk a logikai grammatika kategóriáinak megfelelő szimbólumokat is. Így azonban ezen a nyelven nem írhatnánk elő a megfelelő kategóriákba eső szimbólumok számára, hogy hogyan kell őket helyesen kombinálni, azaz nem fogalmazhatnánk meg rájuk vonatkozó szintaktikai szabályokat.¹²

A szintaktikai szabályok kifejezhetetlensége mellett kifejthetünk azonban olyan érveket is, amelyek a tractatusi logikai-metafizikai rendszerből közvetlenül táplálkoznak. Ehhez a formális nyelvből vissza kell lépnünk az objektumok és tények világába, melyekkel kapcsolatban beszélhetünk azok belső tulajdonságairól: “A tulajdonság belső akkor, ha elgondolhatatlan, hogy a tárgy ne rendelkezzék vele”.¹³ A belső tulajdonságok meglétéről azonban nem tehetünk explicit kijelentést, ugyanis “[e]gy lehetséges tényállás belső tulajdonságának fennállását nem kijelentés fejezi ki, hanem ez maga fejezi ki magát a tényállást ábrázoló kijelentésben, e kijelentés valamely belső tulajdonságán keresztül”¹⁴. A Tractatus alapján további két megállapítást tehetünk a wittgensteini terminológiát illetően. Egyrészt formális tulajdonságnak a szimbólumok, azaz a logikai formalizmus tényeinek belső tulajdonságát nevezhetjük, másrészt a formális fogalmak azok, amelyek a szimbólumok formális tulajdonságait kívánják megragadni. Ezek alapján kézenfekvő a megállapítás, mely szerint az, “[h]ogy valami egy formális fogalom alá tartozik annak tárgyaként, ezt nem fejezheti ki kijelentés, hanem ez magának a tárgynak a jelében mutatkozik meg”.¹⁵ Arra a kérdésre, hogy ennek miért kell így lennie Wittgensteinnél, ismét a logika metafizikai státusza adja meg a választ, miután a formális fogalmak éppen a logikai forma jellegzetességeit kívánják megragadni: “A kijelentés ábrázolhatja az egész valóságot, de nem ábrázolhatja azt, aminek közösnek kell lennie benne a valósággal, hogy annak ábrázolása lehessen – a logikai formát. Ahhoz, hogy a logikai formát ábrázolhassuk, képesnek kellene lennünk arra, hogy magunkat a kijelentéssel együtt a logikán kívülre, azaz a világon kívülre helyezzük”.¹⁶ Ez utóbbi azonban nyilvánvalóan nem lehetséges.

Mindez magyarázza azt is, miért nem tehetünk explicit kijelentést arra vonatkozóan, hogy egyes kifejezések argumentumai milyen típusba tartozó szimbólumok lehetnek: ennek ugyanis magából a szimbolizmusból kell megmutatkoznia, hogyha korrekt. Ebben az értelmezésben tehát Wittgenstein nem azt utasítja el, hogy a függvények hierarchikus viszonyokba rendeződnének, sőt: a Tractatusban foglaltak szerint ez az elrendeződés a szimbolikus nyelvnek elválaszthatatlan sajátja. A típuselméleti logikának tehát nem tartalmi kritikájával állunk szemben, hanem csak annak kérdésességét világítja meg Wittgenstein, hogy ez a hierarchia a tractatusi nyelven belül előírható volna a logikailag korrekt nyelv függvényei számára.¹⁷

4. Az ideális formális nyelven nem fogalmazhatunk meg levezetési szabályokat ugyanezen nyelv számára

A tractatusi terminológiát alkalmazva azt mondhatjuk, hogy a kijelentések között fennálló formális viszonyként írható le az a tény, hogy az egyik kijelentés következik a másikból. A formális tulajdonságok fenti jellemzéséből azonban ismét az adódik, hogy ez a viszony nem fejezhető ki explicit módon az ideális tractatusi nyelven, ez a viszony megmutatkozik. Wittgenstein szavaival: “Ha egy kijelentés igazsága következik más kijelentések igazságából, akkor ez kifejezésre jut azokban a viszonyokban, amelyek a kijelentések formái között fennállnak. Mégpedig nincs szükség arra, hogy mi állítsuk őket ilyen viszonyokba azáltal, hogy egyetlen kijelentésbe kapcsoljuk össze őket, mert ezek a viszonyok belsők, úgyhogy fennállnak, mihelyt fennállnak e kijelentések, s már azáltal, hogy fennállnak”.¹⁸ Tehát “[a] következtetés módja csak a két kijelentésből érthető. Egyedül csak ezek igazolhatják a következtetést. ’A következtetés törvényei’, amelyeknek – mint Fregénél és Russellnál – igazolniok kellene a következtetéseket, értelem nélküliek és feleslegesek is volnának”.¹⁹

Elmondható tehát, hogy a tractatusi ideális nyelven sem szintaktikai, sem következtetési szabályokat nem fogalmazhatunk meg ugyanezen nyelv számára. Megfogalmazhatjuk-e vajon ezeket valamilyen logikára vonatkozó metaelméletben? Erre a kérdésre a wittgensteini válasz határozott nem, ugyanis a körbenforgás veszélyének elkerülése végett egy ilyen metaelmélet nyelvének éppen a jellemezni kívánt logikai sajátosságokat kellene nélkülöznie. Ilyen nyelv azonban nincs, hiszen lehetetlen nem logikailag gondolkodni, illetve beszélni, a logika minden nyelv és gondolkodás lehetőségének feltétele.

A fenti megfontolások egyúttal lehetőséget kínálnak arra is, hogy kihúzzuk a talajt a Tractatus Előszavában Russell által kifogásolt, zavarba ejtő tractatusi paradoxon russelli megoldása alól. Ez a zavarba ejtő paradoxon abban áll, hogy a Tractatusban leírtak megértése azt kell, hogy eredményezze, hogy a megértéshez vezető, a Tractatusban leírt kijelentéseket értelmetleneknek nyilvánítsuk. Russell javaslata ennek elkerülésére az, hogy nyelvek végtelen hierarchiáját vezetjük be, ahol a hierarchiában soron következő nyelv éppen arról beszél, amiről az őt megelőző nyelvben nem lehetett beszélni. Ha emellett még azt is tagadjuk, hogy az így kapott nyelvek végtelen rendszerének volna valami megragadható összessége, akkor nem léphet fel az a probléma sem, hogy erről az összességről ismét nem beszélhetnénk semmilyen logikailag korrekt nyelven. A Tractatus szemszögéből nézve ez a javaslat a következő problémával terhes: a nyelvek feltételezett végtelen hierarchiája egyúttal több, egymásra vissza nem vezethető logika tételezését is igényelné. Ez azonban nem fér össze a tractatusi gondolatok kiindulópontjával, miszerint a logika az, ami bármely gondolkodás és nyelvhasználat lehetőségfeltételeit kívánja megragadni. Wittgenstein álláspontja szerint benne vagyunk a nyelvben, és elvileg lehetetlen, hogy kilépjünk belőle, és ezáltal mint objektumhoz viszonyuljunk hozzá, mivel a logika, a nyelv a világra vonatkozó megismerésünk eszköze és csatornája, így nem tehető puszta tárggyá.

2. Matematika

Elsőként meg kell jegyeznem, hogy amikor Wittgenstein matematikáról beszél, akkor kizárólag aritmetikáról esik szó, emiatt én is ezt a szóhasználatot követem. Így a matematikai formalizmus, a matematika nyelve egyenletekből áll. Vajon ezek az egyenletek hozzátartoznak-e a Tractatus ideális logikai formalizmusához? Amennyiben igen, ezek kétféleképpen funkcionálhatnak: vagy valódi kijelentésekként, amelyek az összekapcsolt kifejezések jelentésének azonosságát állítják, vagy értelem nélküli, tautologikus kijelentésekként. Az első feltevés alapján azonban, miszerint egy egyenlet a benne foglalt kifejezések jelentésének azonosságát állítja, az egyenleteket mint értelmetlen kifejezéseket ki kell zárnunk a formalizmusból. Wittgenstein ugyanis azt állítja, hogy “[a] tárgyak azonosságát a jel azonosságával fejezem ki, nem pedig azonosságjel segítségével. A tárgyak különbözőségét a jelek különbségével”.²⁰ Ebből viszont az következik, hogy “[k]ét tárgyról azt mondani, hogy azonos – értelmetlenség; és egy tárgyról mondani azt, hogy azonos önmagával, annyi, mint semmit sem mondani”.²¹ Wittgensteinnek azonban van egy alternatív javaslata arra nézve, hogyan is értsük az egyenleteket: “Ha két kifejezést egyenlőségjel kapcsol össze, akkor ez annyit jelent, hogy egymással helyettesíthetők”.²² Ebből a meghatározásból kiindulva az egyenletek nem valódi kijelentések, nem fejeznek ki gondolatot. Hiszen a világban fennálló tényekről nem tudunk meg általuk semmit, kizárólag bizonyos jelek formális viselkedéséről.

1. Hasonlóságok logika és matematika között

A Tractatusban leírtak alapján több szempontból is állíthatjuk, hogy a matematika egyenleteinek rendszere lényeges vonásokban osztozik a tautológiák logikai rendszerével. Először is, mindkét formalizmus szorosan kötődik a tractatusi metafizikához, mindkét formalizmus mutatja számunkra a világ és a nyelv közös struktúráját: “A világ logikáját, amelyet a logika kijelentései a tautológiákban mutatnak meg, a matematika az egyenletekben mutatja meg”.²³ Így a matematika egyenletei ugyan nem tartalmas kijelentések, mégsem értelmetlenek, hiszen implicit módon közvetítenek számunkra valami lényegeset. A matematika rendszeréről tehát pontosan ugyanabban az értelemben állíthatjuk, hogy az nem elmélet, mint amilyenben a logikai kijelentések esetén tettük. Másodszor, a kifejezések egymással való helyettesítése a matematikában egy olyan fizikai aktus, melynek segítségével bizonyos egyenletekből újabb egyenletekhez juthatunk el. “Mert az egyenletek két kifejezés helyettesíthetőségét fejezik ki, és úgy haladunk bizonyos számú egyenlettől új egyenletek felé, hogy egyes kifejezéseket – az egyenleteknek megfelelően – más kifejezésekkel helyettesítünk”.²⁴ Ahhoz, hogy ez alapján azt mondhassuk, hogy a matematika lényegét tekintve valamilyen cselekvés, meg kell még mutatnunk, harmadszor, hogy a helyettesíthetőség a helyettesítendő kifejezések között fennálló formális viszony. Ez a logikáról elmondottak alapján implikálná, hogy a helyettesíthetőség kritériumaként nem állíthatunk fel explicit szabályokat, vagyis a helyettesítés hallgatólagos szabályoknak megfelelően történik. A Tractatusban foglaltak szerint azonban éppen ez a helyzet. Annak ugyanis, hogy az egyenletben összekapcsolt kifejezések egymással helyettesíthetők-e vagy sem, “magán a két kifejezésen kell megmutatkoznia. Két kifejezés logikai formáját jellemzi, hogy egymással helyettesíthetők.”²⁵

A matematika tehát lényegét tekintve egy, a helyettesítés aktusa köré szerveződő tevékenység, és működtetésének szabályai sem a matematika nyelvén belül, sem pedig valamilyen metaelmélet nyelvén nem fogalmazhatók meg explicit kijelentés formájában.

2. Különbségek logika és matematika között

A tautológiák és egyenletek között fennálló, tárgyalt hasonlóságok mellett jelentős különbségekről is számot adhatunk a Tractatus alapján. Először is mint formális kifejezéseket tekintve őket azt mondhatjuk, hogy míg a tautológiák kijelentéseket – akár tartalmas, akár tautologikus kijelentéseket – kapcsolnak össze egyetlen logikai kijelentésben, addig a matematika egyenleteiben szereplő kifejezések más típusúak, egyáltalán nem is kijelentések. A matematikai és logikai rendszer számos hasonlósága ellenére a matematika egyenletei tehát nem tautológiák. Másodszor vegyük szemügyre a két formális rendszernek a Tractatus logikai-metafizikai rendszeréhez fűződő viszonyát. Fent azt állapítottuk meg, hogy mindkét formalizmusban megmutatkozik a nyelv és a világ közös struktúrája. A matematika egyenletei esetében azonban ez valamilyen speciális szempontból történik, míg a logikai kijelentésekben a logikai struktúra általánosan mutatkozik meg. Ugyanis “[a]z egyenlet csak azt a szempontot jellemzi, amelyből a két kifejezést szemlélem, nevezetesen jelentésazonosságuk szempontját”.²⁶ Következésképpen a matematika egyenleteinek rendszeréről a Tractatus metafizikájára támaszkodva is azt kell mondanunk, hogy az nem része a logikai kijelentések rendszerének, ugyanis a köztük fennálló hasonlóságok ellenére a két rendszer két különböző nézőpontot jellemez. Végül ez a két rendszer között fennálló különbség úgy is megragadható, ha a logika, illetve a matematika alkalmazását tanulmányozzuk. A tautológiákat arra használhatjuk, hogy valódi, tartalmas kijelentéseket bizonyítsunk más tartalmas kijelentésekből kiindulva. Ugyanis “[a]z értelemmel bíró kijelentés valamit állít, bizonyítása pedig mutatja, hogy ez így van; a logikában minden egyes kijelentés egy bizonyítás formája. A logika minden kijelentése jelekben ábrázolt modus ponens”.²⁷ És hasonlóan, “az életben sohasem maga a matematikai kijelentés az, amire szükségünk van, hanem a matematikai kijelentést csak arra használjuk, hogy olyan kijelentésekből, amelyek nem tartoznak a matematikához, következtessünk másokra, amelyek szintúgy nem tartoznak a matematikába”.²⁸ Azonban míg a tautológiák bármilyen kijelentés bizonyításaként alkalmazhatók, addig az egyenleteket csak speciális esetekben alkalmazhatjuk, kvantitatív kijelentések bizonyítására. Például arra, hogy ha két almát veszünk két alkalommal, akkor ugyanannyi almánk lesz, mintha egyesével vesszük az almákat, amennyiben ezt az aktust négyszer hajtjuk végre. Noha az előbbi kijelentés igaz lesz attól függetlenül, hogy a világban konkrétan milyen tények állnak fenn, ez a kijelentés nem ragadható meg tautologikus formában, ez a kijelentés nem logikai.

3. Konklúzió

Érvelésemben központi jelentőséggel bírt annak megmutatása, hogy a wittgensteini logika jelentősen különbözik a russellitől. A Tractatus logikai-metafizikai rendszeréből kiindulva egy olyan logikai formalizmushoz jutunk, ami nem egy tartalmas elmélet, hanem lényegét tekintve cselekvésként fogható fel. Továbbá e logikai formalizmus számára nem fogalmazhatók meg szabályok semmilyen metaelméleti kereten belül, melyek a tautológiák helyes szintaxisának, illetve a végrehajtható következtetéseknek a kritériumait írnák elő. A Tractatusból adódó logikai és matematikai rendszerek között fennálló hasonlóságok folytán a matematikát illetően szintén ezekre a következtetésekre juthatunk annak ellenére, hogy a matematika egyenleteinek rendszere nem képezi részét a logikai formalizmusnak. A matematika egy alternatív, ám specifikusabb formalizmus a logikai formalizmushoz képest, a matematika egyenletei néhány jellegzetes, ám tautologikus kijelentések által nem megragadható vonását mutatják számunkra a Tractatus logikai-metafizikai rendszerének.

A matematikára vonatkozó konklúziót Wittgenstein középső korszakából származó írásai felől szemlélve azt találjuk, hogy a Tractatus szerint cselekvésként felfogható matematika a középső korszak matematikai kalkulusainak jellegzetességeit hordozza magán²⁹ annak ellenére, hogy a matematikát Wittgenstein ekkor már nem egyetlen átfogó kalkulusként működőnek, hanem különféle kalkulusok laza szövedékének gondolja. Emellett a Tractatusban még fennálló logikai-metafizikai rendszerben megfogalmazott, kijelentésekre vonatkozó értelmesség-kritérium a középső korszak írásaiban az adott kalkulushoz képest relatívvá válik. Érvényben marad azonban egy tractatusi felvetés, amely a Hilbert-program kritikája kapcsán válik jelentőssé. Wittgenstein szerint Hibert metamatematikáját félrevezető volna egy matematikáról tartalmasan beszélni tudó metaelméletként interpretálni, ez pusztán egy újabb kalkulus a matematikán belül, ami egy már meglévő kalkulus szabályait teszi explicitté, és működteti újabb szabályokhoz igazodva.

Irodalom

Baker, Gordon. Wittgenstein, Frege and the Vienna Circle. Oxford: Basil Blackwell, 1988.

Davant, James B. “Witgenstein on Russell’s Theory of Types.” Notre Dame Journal of

Formal Logic 16 (1975): 102-108.

McGuinness, Brian, ed. Wittgenstein and the Vienna Circle: conversations recorded by

Friedrich Waismann. Oxford: Basil Blackwell, 1979.

Potter, Michael. Reason’s Nearest Kin: Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap.

Oxford University Press, 2000.

Rodych, Victor. “Wittgenstein on Mathematical Meaningfullness, Decidability, and Application.” Notre Dame Journal of Formal Logic 38/2 (1997): 195-225.

Russell, Bertrand. “The Theory of Logical Types.” In The Collected Papers of Bertrand

Russell 6, ed. John G. Slater 3-32. London: Routledge, 1992.

Wittgenstein, Ludwig. Tractatus Logico-Philosophicus. London: Routledge, 2004. Magyarul:

Logikai-Filozófiai Értekezés. Budapest: Akadémiai Kiadó, 1989.

Wittgenstein, Ludwig. Filozófiai Vizsgálódások. Budapest: Atlantisz, 1998.

Lábjegyzet