A jól ismert probléma: Akhillész egy teknőssel fut egy irányban, kezdetben a távolság köztük s. Akhillész sebessége 10v, a teknősé v, így Akhillész a józan ész alapján belátható időn belül utolérné. De a paradoxon szerint nem éri utol, hisz ameddig Akhillész megteszi az s távolságot, a teknős s/10 távolságot halad előre, és amíg Akhilleusz az s/10 távolságot megteszi, addig a teknős újabb, s/100 távolságot tesz meg, és ez így megy a végtelenségig, mindig lesz köztük távolság, nem éri utol a teknőst.

A hiba az elgondolásban, hogy a "végtelenségig" szót rosszul értelmezzük, az [1] sorozat nem végtelen ideig tart, hanem csak végtelen elemből áll. Ennek belátásához vegyük az [1] sorozat minden elemét, és az azokhoz tartozó időt, ekkor az összes időre a következő végtelen összeget kapjuk (t az az idő, amennyi idő alatt Akhillész kifutja az s távolságot):

Ahhoz, hogy Akhillész beérje a teknőst, ennyi időnek kell eltelnie. Hogy ne előzze le, hanem csak beérje, a [2] összegnek végtelen nagynak kell lennie.

Viszont az (1+1/10+1/100+…+ 1/10ⁿ…) végtelen összeg értéke 10/9 (mai matematikai módszerekkel), azaz

amely viszont véges érték, azaz Akhillész nem végtelen idő alatt éri be a teknősbékát, hanem véges alatt, ergo véges időn belül le is előzi. Tehát Zénón paradoxona valóban paradoxon, ezt mai matematikai módszerekkel bizonyítottuk be.

Ám ha a görögöknek, sőt ha magának Zénónnak magyarázzuk el ezt a bizonyítást, ugyanolyan kétellyel fogadnák, mint az előbbi paradoxont. Mik ezeknek a kételkedéseknek az alapjai?

1. A bizonyítás matematikai részét nem ismerik, ergo nem hiszik.

2. A görögök szemléletében a végtelen egyet jelentett az örökkévalóval.

3. A görögök nem használták a számok tizedestört alakját, így csak a véges összegek összeadását tudták elvégezni, hiszen csak olyan módszereik voltak, amelyben egyszerre 2 törtet adtak össze. (Közös nevezőre hozás végtelen tagra nem lehetséges!)

4. Olyan világban hittek, ahol minden arány egész számok arányában adható meg. (Kivételt képzett a titkos Pythagorasz-követő szekta, ők rájöttek, hogy a négyzet oldala nem egyeztethető össze átlója hosszával, de ők eretneknek számítottak).

Démokritosz atomelmélete nyomán többféle térelmélet alakult ki, az egyik, hogy a tér is atomokból áll, a másik, hogy a tér teljesen homogén. De egyik elmélet sem állta ki Zénón nyilas paradoxonát.

Ha kilövünk egy nyilat, az az atomos térelmélet miatt nem mozoghat, hiszen a legkisebb távolság, amit egy nyíl megtehet, az egy tératomnyi, ám ekkor a nyíl atomjai nem mozognának, hanem egyik térpontból a másikba teleportálódnának, tehát folyamatos megsemmisülés-keletkezés játszódna le. Nem ugyanazt a nyilat látnánk különböző pillanatokban; az általunk kilőtt nyíl megsemmisül a pillanat törtrésze alatt (1. ábra).

Tehát a folytonos térelmélet helyes lenne?

Ezt nem tudhatjuk. Az Akhillész–teknősbéka paradoxon igazolásában matematikai eszközöket használtunk. Viszont a matematika axiómákra épül, amelyek a tér folytonosságát használják (pl. bármely ponthoz bármilyen közel található még pont), tehát a paradoxon cáfolásához közvetve alkalmaztuk a tér folytonosságát. Azaz a bizonyításunk akkor és csak akkor igaz, ha a térnek és az időnek nincs legkisebb része. Vannak véges geometriák, a Bolyai-féle hiperbolikus geometriák, ahol a fenti állítás ezen az úton nem igazolható.

Ez a sejtés sokáig foglalkoztatta a filozófusokat és a matematikusokat, de Gödel belátta, hogy minden axiómarendszerben van olyan állítás, ami nem megválaszolható.

Így a józan ész axiómarendszerében sem válaszolható meg minden kérdés. Ezzel magyarázható, hogyha a filozófusok valamilyen kérdésre nem találtak választ, mindig a józan ész valamelyik alaptételét kérdőjelezték meg. A mi esetünkben a tér és idő folytonosságát kell megkérdőjeleznünk, ezt használtuk ki a bizonyításunkban: a józan ész axiómarendszerén alapuló tudományok (euklidészi geometria, klasszikus fizika) segítségével Akhillész utoléri és lehagyja a teknőst.

Erre alapszik a fekete lyukak sugárzásáról alkotott elmélet: a fénysebesség a relativitáselmélet szerint határsebesség, így a fekete lyukakból – ahonnan csak fénysebességnél nagyobb sebességgel lehet kitörni – részecske kiáramlás nem képzelhető el.

De rövid távolságon egy részecske elérhet fénysebességnél nagyobb sebességet is. A és B között minden lehetséges útvonalnak van egy p>0 valószínűsége, így ha a részecske A-ból B-be ért, mehetett fénysebességnél gyorsabban is, ha nem az egyenes úton jutott oda, aminek a valószínűsége majdnem 0.

1. Van olyan axiómarendszer, ahol a problémára igaz

3. Van olyan axiómarendszer, ahol a probléma értelmezhetetlen.

4. A matematikával (az euklidészi axiómarendszeren belül) a probléma a józan észnek megfelelően megválaszolható.

És ami ezek után a legmegdöbbentőbb: a modern, a józan ész által nem elfogadott axiómarendszerek segítségével az ember sokkal több dolgot értett meg a körülvevő világból, mint a józan ész által, ezek átfogóbb képet adnak, általánosabbak és talán közelebb állnak a filozófusok által keresett igazsághoz.

Mint láttuk, a görögöknél a végtelen egyet jelentett az örökkévalóval, ez így is maradt a 17. századig, ameddig Newton nem fedezte fel az integrálszámítást, ami nem más, mint egy végtelen tagú összeg értékének kiszámolása: (2. ábra)

A következő áttörést a végtelen történetében azt jelentette, hogy észrevették: többféle számosságú végtelenfajta van. Ezeket osztályozták:

1. Természetes számok számossága:

0, 1, 2… – megszámlálhatók

2. Szakasz pontjainak a száma: kontinuus számosság

Bizonyított, hogy axiómarendszerünkben nem bizonyítható: létezik vagy nem létezik olyan végtelen halmaz, amely számosabb, mint a természetes számok, és kevésbé számos a szakasz pontjainál.

Még elképzelhetetlenebb végtelenek akkor születtek, amikor a relativitáselmélet alkalmazásához előnyös a négy, sőt öt dimenziót bevezetni.

Elképzelhetetlenségének ellenére még az n-dimenziót is le tudjuk képezni, meg tudjuk feleltetni az 1 hosszú szakasz pontjainak; mégis, míg a szakasz józan ésszel felfogható, az n-dimenzió kevésbé. Itt az elvonatkoztatás nehézségét okolhatjuk, ez talán megmagyarázza, hogy a görögök miért féltek annyira a végtelentől.