Az axiomatikus módszerről,  az abszolút, az euklideszi, és a hiperbolikus geometria kapcsolatáról
 

A geometria bármely axiomatikus – vagy többé-kevésbé axiomatikus – felépítése során kimondott axiómákat az alábbi csoportokra oszthatjuk:

        – illeszkedési axiómák;

        – egybevágósági axiómák;

        – folytonossági (mérési) axiómák;

        – párhuzamossági axióma.

Az első négy axiómacsoportra, az ún. maradék axiómarendszerre épül a – Bolyai János szóhasználatával élve – abszolút geometria, amely semmilyen formában nem tartalmazza a párhuzamossági axiómát. Attól függően, hogy a felmerülő lehetőségek közül melyiket választjuk párhuzamossági axiómaként, az euklideszi vagy a Bolyai - Lobacsevszkij - féle ún. hiperbolikus geometriát építhetjük tovább.

A továbbiakban, amikor különböző kijelentéseket (axiómákat, definíciókat, tételeket) fogalmazunk meg, vagy fogalmakat vezetünk be, jó lenne határozottan kiemelnünk, hogy egy kijelentés az abszolút geometria körébe tartozik-e, vagy csak az euklideszi, ill. a hiperbolikus geometriában érvényes. Ezért az abszolút geometriai kijelentéseinket sárga keretbe. az euklídesz geometriában érvényeseket zöldbe, a  hiperbolikus geometriában érvényeseket halványpiros keretbe kelyezzük. Íme a három kategória három - vizsgálataink szempontjából kulcsfontosságú - kijelentése:
 

A maradék axiómarendszerrel bizonyítható, hogy a sík egy adott egyenesére merőleges egyenesek nem metszik egymást, így vannak egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek. Nevezzünk párhuzamosnak két egyenest, ha egy síkban vannak és nem metszők. 

Ha adott egy egyenes, és egy rá nem illeszkedő pont, akkor a pont és egyenes síkjában az adott ponton át az adott egyenessel legalább egy párhuzamos húzható. 
 
 
Egy adott egyeneshez és a rá nem illeszkedő ponthoz a pont és egyenes síkjának legfeljebb egy olyan egyenese tartozik, amely az adott egyenest nem metszi. 
 
 
Egy adott egyeneshez és a rá nem illeszkedő ponthoz a pont és egyenes síkjának legalább két olyan egyenese tartozik, amely az adott egyenest nem metszi.
 
 
 A két utóbbi kijelentés az euklideszi, ill. a hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómája, melyek egymás tagadásai. Az abszolút geometria axiómarendszerén belüli eszközökkel ugyanis nem dönthető el, hogy hány ilyen, adott egyenessel párhuzamos egyenes illeszthető a sík egy adott pontjára. Bolyai János zsenialitása kellett ahhoz, hogy erre a megállapításra jussunk. Így a kérdést egy újabb axióma bevezetése oldhatta csak fel, amely azonban kétfelé ágaztatta az addig egységes geometriai rendszert.

A párhuzamosság kérdésére adhatunk olyan választ is, miszerint nincsenek egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek, ez azonban ellentmond a maradék axiómarendszernek. Arra a kijelentésre, hogy bármely két egy síkban fekvő egyenes metsző, felépíthető az ún. elliptikus geometria. Ehez azonban módosítanunk kell a maradék axiómarendszerünket. Az elliptikus geometriában pl. az egyenes zárt vonal, így nem értelmezhető a félegyenes, a szakasz, a tengelyes tükrözés stb. fogalma.

Most mi a Bolyai-geometriával fogunk kissé alaposabban megismerkedni, a lehető legszemléletesebb módon: modellezni fogjuk az euklídeszi síkon.

Gondoljuk hát végig, hogy mit is jelent a modellezés általában, és jelen esetben.