"Két dolog van, aminek elmém soha meg nem szűnő tisztelettel adózik: a fölöttem elterülő csillagos égbolt és a bennem rejlő erkölcsi törvény" - így hangzik Kant egyik híres mondása.

Aligha kételkedhetünk abban, hogy elsősorban a "felettünk elterülő csillagos égbolt" vezetett minket azokhoz a fogalmakhoz, amelyek ott rejtőznek geometriai gondolkodásunk mélyén. A mezopotámiai pásztorok megfigyelték a tiszta babilóniai égen a Hold és a csillagok pályáját, és észrevették a változatlan és az állandóan visszatérő alakzatokat, konstellációkat. Ha olyan világban élnénk, amelyben a dolgok alakja és az alakzatok szerkezete állandóan változnék, akkor aligha állapíthattuk volna meg, hogy a világegyetem örök és változatlan törvényeknek engedelmeskedik. Már sokkal korábban, mint ahogy az ember megismerhette a fizika törvényeit, meg akart valamit érteni abból a rejtelmes nagyságból, amely a csillagászati jelenségekben megmutatkozott. Az a szabályosság, amivel a Nap, a Hold és a bolygók követik pályájukat, arra ösztönözte az értelmet, hogy olyan rögzített pontokat találjon az égen, amelyekhez viszonyítani lehet a Nap, a Hold és a bolygók helyzetét, továbbá, hogy olyan eszközöket keressen, amelyek segítségével előre lehet látni e helyzetek visszatérését. Így lett az asztronómia a természettudományok bölcsője és a geometriai elméletek kiindulópontja.

Maguk a csillggok a "pont" fogalmához vezettek; a csillagképekben háromszögek, négyszögek és más geometriai alakzatok jelentek meg; a Nap és a Hold korongja adta a kört. Így jöttek létre - teljesen intuitív módon - a geometriai gondolkodás alapelemei.

A régi civilizációkat, a kínaiakat, babilóniaiakat, egyiptomiakat egyaránt foglalkoztatták a geometriai tények. Bizonyos területeken figyelemre méltó geometriai tudásuk volt, de ezek az ismeretek lényegében a mérésekkel összefüggő szemléletes okoskodásokra támaszkodtak, s ezek csak közelítő eredményeket adtak. Egészen másképp közelítették meg a problémákat a görögök, akik alapvető filozófiai kérdéseket vetettek fel.

A görögök minden későbbi civilizációra olyan rendkívüli hatást gyakoroltak, hogy nehéz felmérni valódi eredményeiket. Mindabból, amit elértek, oly sok olvadt be az európai gondolkodásba, hogy az ember hajlamos tevékenységük bizonyos vonásait maguktól értetődőnek tekinteni, jóllehet ezek valójában forradalmi újítások voltak. Rövid 300 év alatt, i. e. 600 és 300 között, a művészetek és a tudományok hihetetlen csúcsokra emelkedtek. Nem tudunk ésszerű magyarázatot találni arra, hogyan ment végbe ez a robbanásszerű fejlődés, amelynek egyik hulláma követte a másikat. Más civilizációk is eljutottak magas fokra, a tudományos gondolkodás fejlődését tekintve azonban a görög korszak egyedülálló az emberiség történetében.

A görög szellemnek vele született tehetsége volt az elméleti gondolkodásra. Az eleai iskola kozmikus filozófiái - gondoljunk Xenophanészre, Parmenidészre és Zénónra, majd őket követően Hérakleitoszra, Empedoklészre és Anaxagoraszra - már általános törekvést mutatnak a rendszeralkotásra, jóllehet egyelőre inkább meglátásszerűen, semmint tudományos módon teszik ezt.

Mindent átfogó, egyetemes rendszerekhez akarunk eljutni, de felmerül ugyanakkor a kétely is: "Biztosak lehetünk benne, hogy ez lehetséges? Nem lehetséges ugyanúgy az is, hogy ennek az ellenkezője igaz? Valójában mit is tudhatunk?" A leghiggadtabb és legrealistább válasz ez lehetett volna: "Semmit, kivéve azt, amit érzékeink mondanak el a külvilágról." Azonban ezzel a pragmatikus válasszal sohasem érte volna be a görög filozófiai gondolkodás.

A görög filozófusoknak a közvetlen érzékszervi benyomások semmivel sem jelentettek többet, mint amit a szobrász számára egy darab márvány. A márvány, kétségkívül látható, érzékelhető, azonban életre csak akkor kel, ha tudatosan megmunkálják. Az érzékszervi benyomás csupán egyszerű nyersanyag, amelyet az értelem formálni kezd. Az egyedi és esetleges érzéki benyomásoktól eljutunk a "fogalmak"-ig, s ezeknek magasabb szintű életük van, mivel maradandóak és egyetemesek. Pont, egyenes, sík nem létezik fizikai valóságként; ezek a közvetlen érzékszervi megfigyelések absztrakciói, viszont építőkövei lesznek azoknak a fogalmaknak, gondolatoknak, amelyek értelmünkben alakot öltenek. Ezek az első, tapogatózó lépések valami általános, egyetemes felé.

Miután megformáltuk e fogalmakat, hogyan lépünk tovább, hogyan jutunk el a tudáshoz? Tudunk-e mondani valamit arról, hogyan viszonyulnak e fogalmak egymáshoz? Például két pont fogalmának megalkotása után tudunk-e egyenes vonalat húzni az egyik ponttól a másikig? Ösztönösen érezzük, hogy igen, de biztosak lehetünk ebben?

A görögök arra az alapvető dologra jöttek rá, hogy az elmélkedés önmagában sohasem vezethet olyan ismerethez, amely több bizonyos objektumok puszta definíciójánál. Ezen túllépni csak akkor lehet, ha feltételezzük, hogy bizonyos állítások igazak. Például az az állítás, hogy bármely két pont között egyenest húzhatunk, nem bizonyítható, mégis kimondhatjuk, mivel kézenfekvő, plauzibilis tény. Mindazonáltal inkább feltevés marad, mint bizonyított tény.

Az ilyen, plauzibilitás alapján elfogadott, általános jellegű feltevéseket posztulátumoknak nevezzük. Ha elvetünk egy posztulátumot, akkor elvetjük az összes belőle levonható következtetést is. Ha azonban egy posztulátumot, vagy bizonyos, nem túl nagyszámú posztulátumot elfogadunk, akkor van alapunk, amire építhetünk. Ettől kezdve megszabadultunk kétségeinktől. Ezután már nincs értelme a kérdésnek: "Biztos vagy benne, hogy igazad van?" Igen, biztos vagyok, ha ilyen és ilyen posztulátumokat elfogadtam.

Az tehát, hogy ;,két pont között egy és csak egy egyenes húzható", olyan kijelentés, amelyet nem gondolkodásunk, hanem geometriai látásmódunk természete követel meg. Logikailag ugyanis nem lehetetlen, hogy két ponton át egynél több egyenes is húzható legyen.

Természetesen mivel a posztulátumok nem bizonyíthatók, valahogyan ingatag alapnak látszanak. Ezért megkíséreljük számukat minimálisra csökkenteni, és a lehető legkézenfekvőbbé tenni őket. Vagyis egyszerű fogalmak között egyszerű kapcsolatokat állapítunk meg. Egy négyzet szimmetriája nem egyszerű fogalom. Azt mondtuk, hogy "ha a négyzetet a középpontján átmenő és síkjára merőleges tengely körül 90°-kal elforgatjuk, akkor önmagával fedésbe jut"; ez olyan bonyolult fogalmakat tartalmaz, amelyek nem alkothatják a geometria alapját. Sokkal egyszerűbb fogalmakból kell kiindulnunk. Nem megfelelő ilyen szempontból a "téglalap területe" sem. Hallgatólagosan ez is számos olyan bizonyítatlan állítást tételez fel, amelyek nem engedhetők meg, ha a geometriát alapelvekből kiindulva, módszeresen akarjuk felépíteni.
 

Nem elég, hogy az alapposztulátumok kézenfekvőek, bizonyos feltételeket is ki kell elégíteniük. Először is, a lehető legkevesebb posztulátumot kell feltételeznünk, ezek nem lehetnek egymásnak ellentmondóak, és egymástól függetleneknek kell lenniük. A második feltételből következik, hogy sohasem fordulhat elő, hogy a posztulátumok bizonyos kombinációjával az "A azonos B-vel" állításhoz jutunk, míg egy másik kombináció az "A nem azonos B-vel" állításhoz vezet. A harmadik feltétel szerint, a posztulátumok között nem szerepelhet olyan, a melyet a többi posztulátum kombinálásával logikai úton le lehet vezetni. A görögök tudatában voltak e követelményeknek, és annak is, milyen nehéz ellenőrizni, hogy egy posztulátumrendszer eleget tesz-e az utóbbi két követelménynek.

Jellemző a görög gondolkodásmód finomságára, hogy a  tapasztalatainkkal összhangban lévő alap-igazságok , (posztulátumok) elfogadása mellett szükségesnek vélték olyan alap-igazságok   - axiómák  "közismert fogalmak"- felállítását is, melyek a gondolkodásunk sarkallatos megállapításai.

A görögök egy axiómával kapcsolatban a dolgok között fennálló olyan relációkra gondoltak, amelyeket gondolkodásunk természete szab meg. Az az állítás például, hogy "egyenlőkhöz egyenlőket adva egyenlőket kapunk", a gondolkodás tagadása nélkül nem tagadható.
 

A görög módszer valamennyi azóta létrejött egzakt tudomány mintaképe lett. Minden, amit "tudományos módszer"-nek nevezünk, a görög mintát követi. Bizonyos alapvető, mindent átfogó feltevésekből indulunk ki, s ezeket mint nyilvánvalókat, igazaknak tekintjük, vagy pedig azért fogadjuk el őket, mert bizonyos mérések igazolni látszanak helyességüket. Ezek azok a posztulátumok, amelyekből kiindulunk. Ezután a posztulátumok kombinálásával bizonyos logikai következtetéseket vonunk le, amelyeket "lemmák"-nak és "tételek"-nek nevezünk. Segítségükkel az eredmények egyre szélesebb köréhez jutunk el.
 
 

Euklidész Elemek című munkája nyilván nem az első volt az e témáról írott művek között. A Proklosz-féle összefoglalásból tudjuk, Arisztotelész idejében is volt egy Elemeknek nevezett tankönyv. Ezt Theudiosz írta. Euklidész munkájának kiválósága és teljessége azonban minden előző tankönyvet háttérbe szorított, s így lett az iskolai geometriaoktatásban Euklidész munkájából a tankönyv, amely eredeti formájában a legújabb időkig megmaradt. Euklidész saját eredményeiről némi fogalmat alkothatunk, ha összehasonlítjuk az Arisztotelész műveiben található geometriai idézeteket Euklidész könyvének megfelelő szakaszaival. Arisztotelész ugyanis nagy valószínűséggel az Euklidész-féle szöveg közvetlen elődjéből, Theudiosz tankönyvéből idézett. Azonban sohasem lehetünk teljesen biztosak abban, hogy egy Euklidésznél szereplő szakasz valóban tőle származik-e vagy sem. Euklidész szövegét sokszor másolták le és adták ki újból, s eközben gyakorta iktattak bele közbeszúrásokat.

A legmegbízhatóbb forrásokra támaszkodva a következőkben felsoroljuk Eukleidész alapvető axiómáit és posztulátumait.

Axiómák vagy "közismert fogalmak"

1. Egyugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők.

2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, akkor az összegek egyenlők.

3. Ha egyenlőkből egyenlőket vonunk ki, akkor a maradékok egyenlők.

4. Egymással egybeillő dolgok egymással egyenlők.

5. Az egész nagyobb, mint a része.

Posztulátumok.

Legyen megengedett:

1. Bármely pontból bármely pontba egyenes vonalat húzni.

2. Véges egyenes vonalat folytonosan egyenes vonallá hosszabbítani.

3. Bármely középponttal és bármely távolsággal kört rajzolni.

4. Bármely két derékszög egyenlő egymással.

5. Ha egy egyenes úgy metsz két másik egyenest, hogy az egyazon oldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor, ha a két egyenest végtelenül meghosszabbítjuk, azok metszeni fogják egymást, mégpedig azon az oldalon, ahol a szögek összege két derékszögnél kisebb.'

Euklidész rendszere csodálatosan felépített még akkor is, ha találhatók benne hiányosságok. A definíciókat meg lehet támadni azon az alapon, hogy segítségükkel nem kapnánk meg a pont, az egyenes vagy a felület igazi fogalmát. Minden definícióra igaz azonban ez. Sohasem definíciók alapján ismerünk meg egy dolgot. Mielőtt eljutnánk a valódi megértéshez, tapasztalatokra kell szert tennünk az alapfogalmakkal kapcsolatosan, míg dolgozunk velük és vizsgáljuk őket. Ugyanakkor a görögök úgy érezték, hogy érdemes egy rövid mondatba összesűríteni egy fogalom lényegét, bár nem hitték, hogy ez át tudja a fogalmat adni az avatatlannak. A definíciókat ebben a megvilágításban kell szemlélnünk. Nem kétséges, hogy logikai nézőpontból kifogásolható egy ilyen kijelentés: "a pont az, aminek nincs kiterjedése", mivel a "kiterjedés" jóval komplikáltabb fogalom, mint a pont. Ha viszont csak az a célunk, hogy a "pont" szó kimondásakor mindnyájan ugyanarra a dologra gondoljunk, akkor nem rossz ez a felírás.

Kritika tárgyát képezheti az axiómák és a posztulátumok elrendezése. Eukleidész könyvét újra meg újra lemásolták és kiadták, híre és használhatósága miatt, de sajnos, a másolók hibákat követtek el; ezenkívül egyes kiadók helyesnek látták itt-ott külön jelölés nélkül belejavítani. Az axiómák és a posztulátumok közti különbség, ami a filozófiailag iskolázott görögök számára teljesen világos volt, később elhalványult, s így az eredeti kiadás bizonyos mondatait a későbbi kiadásokban más helyre tették át. Így fordulhatott elő, hogy egyes kiadások néha egy axiómát posztulátumként tüntettek fel és fordítva.
 
Mégis azt mondhatjuk, hogy az a rendkívüli tökéletesség, amellyel a görögök a geometriát egzakt tudománnyá tették, elhomályosította a korábbi civilizációk geometriai teljesítményét, és történelmi ítéletünket elkerülhetetlenül elfogulttá tette a görög módszerrel szemben.